allgemeine Lösung ? < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:11 So 30.08.2009 | | Autor: | Surfer |
Hallo mein Prof hat hier mal was an die Tafel geknallt, dass von x'(t) = 4x(t) +3 die allgemeine Lösung x(t) = a [mm] e^{4t} -\bruch{3}{4} [/mm] lautet nur wie komme ich darauf?
lg Surfer
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Hallo,
Stichwort: Dgl lösen durch Trennung der Variablen. Die Integrationskonstante ggf. sinnvoll umbenennen.
Gruß, MatheOldie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 So 30.08.2009 | | Autor: | Surfer |
Hi, schon mal danke für deinen Einwand, aber das muss irgendwie so zusammen hängen, dass 4 ein Eigenwert der Funktion ist und somit eribt sich der Ansatz x(t) = a * [mm] e^{4t} [/mm] nur wie bekomme ich hinten noch die - 3/4 ?
lg Surfer
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Darfst du denn nicht mit der Trennung arbeiten? Das ist schön einfach:
[mm]\frac{x'}{4x+3}=1[/mm] , daraus sofort
ln |4x+3|= t+C
[mm]4x+3 = e^{t+C}[/mm] (falls 4x+3>0)
[mm]4x = C^*e^t -3[/mm]
[mm]x = \frac{C^*}{4} e^t -\frac{3}{4} =[/mm]= [mm]a e^t -\frac{3}{4}[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 So 30.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ohne Trennung der Variablen,
1 Loesen der homogenen gl. x'(t)=4x(t) mit Ansatz [mm] x=e^{rt} [/mm] einsetzen ergibt r=4
Dann spezielle loesung der inhomogenen sehen oder wieder Ansatz x=A einsetzen ergit 0=4A+3 also A=-3/4
Allgemeine Loesung: allg. Loesung der Hom. also C*e*{4t} + spezielle Loesung ergibt allgemeine loesung der inhomogenen.
allerdings kann man mit ein wenig wenig Erfahrung die Loesung auch direkt sehen und durch einsetzen nachweisen.
(diese Methode funktioniert auch noch wenn da nicht 3 sondern etwa 3t steht, dann kann man eine spezielle loesung der inh. mit dem ansatz x=At+B finden. (Trennung der Variablen geht dann nicht mehr)
Gruss leduart
Gruss leduart
Gruss leduart
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