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allg Lös. Randwertprob. Diffgl: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:47 Do 03.12.2015
Autor: Teryosas

Aufgabe
Bestimmen Sie Sie mit Hilfe von Separationsansatz und anschließend Superposition eine möglichst allgemeine Lösung des folgenden Randwertproblems für die Diffusionsgleichung:

[mm] \bruch{\partial u}{\partial t}(x,t) [/mm] = [mm] c^2\bruch{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t) [/mm] für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \pi [/mm] , t [mm] \ge [/mm] 0
[mm] \bruch{\partial u}{\partial x}(0,t) [/mm] = [mm] u(\pi,t) [/mm] = 0  für t [mm] \ge [/mm] 0

Hierbei ist c > 0 eine Konstante.

hey,
Also ich habe von einer ähnlichen Aufgabe die Musterlösung von letztem Jahr und versuche mich daran zu orientieren.
Würde gerne wissen ob meine Lösung richtig ist?

Trennung der Veränderlichen:
u(x,t) = X(x)T(t)                0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \pi [/mm] , t [mm] \ge [/mm] 0

Das führt zu:

[mm] \bruch{\partial u}{\partial t}(x,t) [/mm] = X(x)T'(t)                  [mm] \bruch{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t)=X''(x)T(t) [/mm]          0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \pi [/mm] , t [mm] \ge [/mm] 0

sodass gelten muss:

[mm] \bruch{T'(t)}{T(t)} [/mm] = [mm] c^2 \bruch{X''(x)}{X(x)} [/mm]                         0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] L , t [mm] \ge [/mm] 0
Dabei ist [mm] X(x)\not=0 [/mm] und [mm] T(t)\not=0 [/mm] für alle 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] L , t [mm] \ge [/mm] 0

Dies ergibt:
[mm] \bruch{T'(t)}{T(t)} [/mm] = [mm] c^2 \bruch{X''(x)}{X(x)} =-s^2 [/mm]                  für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \pi [/mm] , t [mm] \ge [/mm] 0   und mit s [mm] \ge [/mm] 0

es folgt:
[mm] X''(x)+(\bruch{s}{c})^2X(x) [/mm] = 0    für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \pi [/mm]
[mm] T'(t)+s^{2}T(t) [/mm] = 0                            für t [mm] \ge [/mm] 0

für [mm] s\ge [/mm] 0 erhält man nun die Lösungen:

[mm] \varphi_{s}(x,t) [/mm] = [mm] cos(\bruch{s}{c}x)e^{-s^2t} [/mm]          
[mm] \psi_{s}(x,t) [/mm] = [mm] sin(\bruch{s}{c}x)e^{-s^2t} [/mm]      für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \pi [/mm] , t [mm] \ge [/mm] 0

Wegen [mm] e^{-s^2t} \not= [/mm] 0 und für alle [mm] t\ge [/mm] 0 wird Betrachtung von [mm] \varphi_{s} [/mm] und [mm] \psi_{s} [/mm] beschränkt.

Wegen [mm] \bruch{\partial \psi_{s}}{\partial x}(0,t) [/mm] = [mm] \bruch{s}{c}cos(\bruch{s}{c}x)e^{-s^2t} |_{x=0} [/mm] = [mm] \bruch{s}{c}cos(\bruch{s}{c}0)e^{-s^2t} [/mm] = [mm] \bruch{s}{c}e^{-s^2t} \not=0 [/mm]
-> [mm] s\not= [/mm] 0

und [mm] \psi_{0}=0 [/mm] kommt nur [mm] \varphi_{s} [/mm] für weitere Betrachtung in Frage.

----------------------------------------------------------
Ab hier bin ich mir nicht mehr 100% sicher.
----------------------------------------------------------

[mm] \bruch{\partial \varphi_{s}}{\partial x}(0,t) [/mm] = [mm] -\bruch{s}{c}sin(\bruch{s}{c}x)e^{-s^2t} |_{x=0} [/mm]  = [mm] -\bruch{s}{c}sin(\bruch{s}{c}0)e^{-s^2t} [/mm] = 0

In dem Punkt [mm] x=\pi [/mm] führt die Randbedingung auf
[mm] \varphi_{s}(\pi,t) [/mm] = [mm] \bruch{s}{c}cos(\bruch{s}{c}x)e^{-s^2t} |_{x=\pi} [/mm] = [mm] \bruch{s}{c}cos(\bruch{s}{c}\pi)e^{-s^2t} [/mm] =! 0    
was für [mm] \bruch{s\pi}{c} \in {0,\pi , 2\pi ,3\pi ,.....} [/mm] erfüllt ist.

Dies bedeutet: [mm] s\in [/mm] {nc : n =0,1,2,....}

Somit stellt die Funktion:
[mm] u_{n}(x,t):=cos(nx)e^{-(nc)^2t} [/mm]        für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \pi [/mm] , t [mm] \ge [/mm] 0 , n=1,2,.....,

jeweils eine Lösungen dar.

Die Superposition liefert:
u(x,t) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n}u_{n}(x,t) [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n}cos(nx)e^{-(nc)^2t} [/mm]       für für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \pi [/mm] , t [mm] \ge [/mm] 0



stimmt das so??

        
Bezug
allg Lös. Randwertprob. Diffgl: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Sa 05.12.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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