allg Folgen- und Reihenkonv. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
als wir mit dem Thema Folgen begonnen haben, haben wir die verschiedenen Folgen benannt:
konstante FOlge, harmonische, geometrische (und für welche Werte sie konvergiert, divergiert - eine lange unüberschaubare Liste), alternierend harmonisch, arithmetisch, Fibonacci..
Aber meine Frage ist: Wenn ich nachher bei Funktionen bzw komplexen Folgen die Konvergenz bestimmen soll: Brauche ich Kenntnisse über solche Folgen? Ich gehe ja meistens hin und sehe zu, dass ich Brüche erzeuge, ausklammere etc.
Klar, es gibt noch den Sandwichsatz, aber das scheint mir doch eher eine Ausnahme, dass man dieses Kriterium anwendet?
(Sagt mir eigentlich das Cauchy-Kriterium hier etwas Wichtiges, was ich mir merken sollte? Im Grunde doch nur, dass eine Folge konvergiert, nicht aber wogegen, richtig? Aber kann ich das für jede Folge anwenden, indem ich sage: [mm] |a_n-a_m|<\varepsilon? [/mm] Dann kann ich doch recht schnell sagen, ob eine Folge divergiert, indem ich zB die Werte 1 und 2 einsetze?)
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Bei Reihen scheint das schon eher von Vorteil zu sein, beispielsweise für das Minoranten/Majorantenkriterium, Grenzwertkriterium (wo man durch eine bekannte Reihe teilt). Aber welche Reihen sind hier wirklich wichtig? Meine Liste ist viel zu lang.
Ich würde behaupten dass die harmonische Reihe obligatorisch ist, also 1/n und für welche [mm] n^x [/mm] sie divergiert oder konvergiert.
Dann gibt es noch die alternierende Reihe [mm] (-1)^n, [/mm] aber wofür ist diese nützlich? Sie konvergiert, aber mit 1/n multipliziert konvergiert die Reihe wieder. Nur: Wo bringt mir dies etwas?
Außerdem kann ich mir noch vorstellen dass die geometrische Reihe mir etwas bringt, indem ich eine bestimmte Reihe so umforme, dass sie der geometrischen Reihe nahe kommt.
Aber was sollte ich mir zur geometrischen Reihe merken?
Ich habe:
[mm] \summe_{i=0}^{n} q^i:
[/mm]
divergiert für q=-1 und [mm] |q|\ge1; [/mm] konvergiert für |q|<1. Ich habe noch eine Aufteilung für [mm] q\not=1 [/mm] und q=1 (zb für q=1 ist die Reihe = n+1), aber wofür ist das nützlich?
Tut mir leid, wenn es zu lang geworden ist. Aber ich habe einfach versucht meine Probleme möglichst verständlich auszudrücken, daher lieber ein Satz mehr als zu wenig. Ich hoffe, ihr verzeiht mir (und versteht mich).
Lieben Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:28 Mo 26.01.2009 | | Autor: | Englein89 |
Um es vielleicht zu kürzen: Mich interessiert gerade vor allem das Cauchy-Kriterium für Folgen.
Was sagt es mir, inwieweit hilft es mir? Ich habe es noch nie bei Folgenkonvergenz angewandt.
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Hallo Englein,
dann wollen wir mal, viele Fragen und hoffentlich auch viele Antworten 
Zu allererst sei mal gesagt, dass alles, was man irgendwie behandelt, später auch mal seinen Sinn hat. Ob allerdings für einen selbst, hängt sicherlich immer ganz stark davon ab, für welche Richtungen man sich nachher selbst entscheidet.
Nichtsdestotrotz ist alles irgendwie interessant 
Aber kommen wir zum Thema und zu deiner ersten Frage:
> Aber meine Frage ist: Wenn ich nachher bei Funktionen bzw
> komplexen Folgen die Konvergenz bestimmen soll: Brauche ich
> Kenntnisse über solche Folgen? Ich gehe ja meistens hin und
> sehe zu, dass ich Brüche erzeuge, ausklammere etc.
Diese Verfahrensweise wird auch später nicht gross anders sein, allerdings versucht man oft so umzuformen, dass man auf bekannte Folgen kommt, und je mehr Folgen man dann natürlich kennt, desto weniger muss man umformen oder zeigen. Viel wichtiger als die Kenntnisse über spezielle Folge ist jedoch, das "Handwerk" zu lernen, mit solchen Folgen umzugehen.
Es lässt sich nicht abstreiten, dass ein stetiges Üben den Umgang mit solchen Folgen routinierter und damit vom Gefühl her einfacher werden lässt. Das ist meistens auch der Grund, wieso man soviele Folgen in Vorlesungen usw. betrachtet. Damit man auch mal sieht, wie man an relativ komplizierte Folgen (wie bspw. Fibonacci) herangeht. Abgesehen davon, dass sie in der Zeit, in der sie aufgestellt wurden, große Rätsel der Mathematik waren.
So hat man lange lange nach einer impliziten Darstellung der Fibonacci-Zahlen gesucht, aber das nur als Randbemerkung.
Daher weiter im Text.
> Klar, es gibt noch den Sandwichsatz, aber das scheint mir
> doch eher eine Ausnahme, dass man dieses Kriterium
> anwendet?
Ich vermute mal, du meinst mit "Sandwichsatz" das Einschachteln einer Folge von unten und oben zur Bestimmung des Grenzwertes.
So selten, wie du denkst, ist das gar nicht, und es geht auch in vielen Fällen gar nicht darum, einen Grenzwert direkt herauszubekommen. Oft reicht schon die Kenntnis darüber, ob eine Folge überhaupt konvergiert, oder ob man belegen kann, dass sie divergiert. Da helfen Abschätzungen einem oft sehr weiter. Sei es nun eine kleinere Folge, von der man zeigen kann, dass sie divergiert oder eine obere Schranke, die gegen 0 läuft wobei die zu untersuchende Folge nur positive Glieder hat.
> (Sagt mir eigentlich das Cauchy-Kriterium hier etwas
> Wichtiges, was ich mir merken sollte? Im Grunde doch nur,
> dass eine Folge konvergiert, nicht aber wogegen, richtig?
So, hierrüber könnte man jetzt einen langen langen Absatz schreiben, ich versuche es aber recht kurz zu halten.
Wenn du Folgen in [mm] \IR [/mm] betrachtest, hast du erstmal recht, dass jede Cauchy-Folge konvergiert. Beschränken wir uns also jetzt ersteinmal darauf
Wie du richtig erkannt hast, liefert uns das Cauchy-Kriterium keinen direkten Grenzwert, aber wie oben bereits erklärt, interessiert uns das auch nicht immer. Oder nimm rekursiv definierte Folgen, bei denen sich der Grenzwert meist sehr sehr einfach ausrechnen lässt, sofern er denn existiert. Aus diesem Grund gibt es mehrere Kriterien um ersteinmal das Konvergenzverhalten einer Folge zu bestimmen.
Als einfachstes Kriterium sei da nur Monotonie und Beschränktheit genannt, aber das ist schon eine recht starke Einschränkung. Das Cauchy-Kriterium liefert uns nun also eine Möglichkeit JEDE konvergente Folge zu prüfen, denn in [mm] \IR [/mm] gilt nunmal: Jede Cauchy-Folge konvergiert und umgekehrt ist jede konvergente Folge auch eine Cauchy-Folge.
Weiterhin ist das Cauchy-Kriterium meistens sehr hilfreich bei Reihen, denn Reihen sind ja bekanntlich auch nichts anderes als Folgen. Da sich dort die ersten n Summanden dann aufheben, wenn man die Differenz von zwei Summen bildet, vereinfachen sich diese meist sehr stark.
Das wäre z.B. eine praktische Anwendung von Cauchy
> Aber kann ich das für jede Folge anwenden, indem ich sage:
> [mm]|a_n-a_m|<\varepsilon?[/mm] Dann kann ich doch recht schnell
> sagen, ob eine Folge divergiert, indem ich zB die Werte 1
> und 2 einsetze?)
Nein, das kannst du leider nicht. Schau dir am Besten den Satz zur Cauchy-Folge nocheinmal an, wie sie definiert ist, und warum dir [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] eben nicht gross weiterhelfen.
Als kleinen Hinweis:
Bei der allgemeinen Konvergenz muss doch gelten:
[mm]|a_n - g| < \varepsilon[/mm]
Nichtsdestotrotz kann [mm]|a_1 - g| > \varepsilon[/mm] sein (und ist es auch für die meisten [mm] \varepsilon [/mm] )
Was bringt dir das Cauchy-Kriterium nun aber genau?
Später werdet ihr (oder auch nicht) den Begriff "Vollständigkeit" in einem metrischen Raum definieren. Anschaulich gesehen stellt sich also die Frage, ob eine Raum "Lücken" hat.
Du kennst einen solchen Raum sogar bereits, nämlich die rationalen Zahlen [mm] \IQ, [/mm] in denen ja die reellen Zahlen wir [mm] \sqrt{2} [/mm] nicht enthalten sind und daher "Lücken" da sind.
In [mm] \IR [/mm] ist dies anders, der ist vollständig.
In einem vollständigen Raum gilt wie in [mm] \IR, [/mm] dass jede Cauchy-Folge konvergiert, in einem nicht vollständigen Raum gilt das nicht.
So kannst du beispielsweise eine Folge von rationalen Zahlen finden, die gegen [mm] \sqrt{2} [/mm] konvergiert. D.h. die Folge konvergiert in [mm] \IR, [/mm] aber nicht in [mm] \IQ, [/mm] da der Grenzwert nicht in [mm] \IQ [/mm] liegt.
Nichtsdestotrotz wäre diese Folge eine Cauchy-Folge in [mm] \IQ, [/mm] die aber nicht konvergiert.
D.h. später liefert dir der Vergleich Cauchy-Folgen <-> konvergente Folgen eine Aussage über die Beschaffenheit des Raumes, auf denen sie "leben". Aber das reicht auch erstmal als "Vorausblick".
> Ich würde behaupten dass die harmonische Reihe
> obligatorisch ist, also 1/n und für welche [mm]n^x[/mm] sie
> divergiert oder konvergiert.
> Dann gibt es noch die alternierende Reihe [mm](-1)^n,[/mm] aber
> wofür ist diese nützlich? Sie konvergiert, aber mit 1/n
> multipliziert konvergiert die Reihe wieder. Nur: Wo bringt
> mir dies etwas?
> Außerdem kann ich mir noch vorstellen dass die
> geometrische Reihe mir etwas bringt, indem ich eine
> bestimmte Reihe so umforme, dass sie der geometrischen
> Reihe nahe kommt.
Du hast es soweit schon gut erkannt. Es wird kein Weg an der geometrischen und harmonischen Reihe vorbeiführen. Alleine schon als Abschätzung werden dir diese beiden Reihen immer wieder über den Weg laufen.
Ausserdem ist die harmonische Reihe ein schönes Beispiel für eine Reihe, die nur "ganz Knapp" divergiert
Vielleicht bekommt ihr das auch noch zu hören.
Alternierende Reihen (wie die alternierende harmonische Reihe) sind beispiele für Reihen, die zwar konvergieren, aber nicht absolut konvergent sind.
Später braucht man das, da man viele Sätze nur für absolut konvergente Reihen zeigen kann und da muss man nunmal wissen, welche nicht dazugehören.
Desweiteren gibt es für diese Reihen den ![[]](/images/popup.gif) Riemannschen Umordnungssatz, der besagt, dass die Reihen zwar konvergieren, der Grenzwert aber jede beliebige Zahl aus [mm] \IR [/mm] sein kann.
Das funktioniert bei absolut konvergenten Reihen nicht mehr, wenn diese konvergieren, dann immer gegen denselben Grenzwert.
> Aber was sollte ich mir zur geometrischen Reihe merken?
> Ich habe:
> [mm]\summe_{i=0}^{n} q^i:[/mm]
> divergiert für q=-1 und [mm]|q|\ge1;[/mm]
> konvergiert für |q|<1. Ich habe noch eine Aufteilung für
> [mm]q\not=1[/mm] und q=1 (zb für q=1 ist die Reihe = n+1), aber
> wofür ist das nützlich?
Erstmal als kleine Anmerkung. Du hast die geometrische Summe aufgeschrieben, die kann man natürlich für jedes [mm]q \in \IR[/mm] ausrechnen, die Reihe selbst konvergiert aber nur für [mm]|q| < 1[/mm].
Und wie bereits oben geschrieben, wird dir diese Reihe in deinem langem Studienleben bestimmt noch das ein oder andere mal über den Weg laufen, dann wirst du feststellen, ob sie dir genutzt hat, oder nicht
Das tolle hierbei ist sogar, dass du den Grenzwert explizit kennst und wenn du eine Reihe auf diese Form umgeformt hast, den Wert sogar direkt ausrechnen kannst.
Das wird dir noch die ein oder andere Aufgabe erleichtern.
> Tut mir leid, wenn es zu lang geworden ist. Aber ich habe
> einfach versucht meine Probleme möglichst verständlich
> auszudrücken, daher lieber ein Satz mehr als zu wenig. Ich
> hoffe, ihr verzeiht mir (und versteht mich).
Soooooo, also wenn ich ehrlich bin, so schlimm fand ich es gar nicht.
Mich hat es nur ein wenig gewundert, dass überhaupt noch niemand geantwortet hatte, aber nunja.
Und für Fragen ist dieses Forum ja schliesslich da
Auch dir noch eine geruhsame Nacht.
Gruß,
Gono.
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Ich danke dir ganz herzlich! Das hat mir schonmal das Chaos in meinem Kopf ein wenig geordnet.
Aber ich hab doch noch 2 oder 3 Rückfragen :)
Hast du ein Beispiel für Folgen und die Anwendung des Satz von Cauchy, an dem du mir das Vorgehen kurz erklären könntest? Das macht mir nämlich noch Probleme.
Außerdem macht mir noch die notwendige Bedngung für Folgen Probleme (gibt es hier denn eine explizite?).
zB Bestimmten Sie den Grenzwert der Folge
[mm] a_n=n- \bruch{1}{\wurzel[n]{e}-1}
[/mm]
Lösung war: 1/n ist eine Nullfolge. Also ist nach Definitio des Grenzwerts einer Funktion (welche?) der Limes 1/2.
Hier wurde der limes statt gegen unendlich gegen 1/n->0 laufen gelassen.
Ich verstehe das nicht :(
Außerdem fehlt mir der Überblick bei der genannten geometrischen Reihe als Vergleichsreihe. Hast du vielleicht einen besseren Überblick, als meinen? Ich darf nämlich einen Zettel zur Klausur nehmen und mir die wichtigsten Sachen drauf schreiben. Für das Majorante- /Minorantekriterium wäre das sicherlich wichtig.
Und was mir auch noch Probleme bereitet: Das Leibniz-Kriterium. Das hängt ja ganz eng mit der (harmonisch) alternierenden Reihe zusammen, oder?
zB:
[mm] \summe_{n \ge 0} (-1)^n \bruch{2}{\wurzel{n^2+1}}
[/mm]
oder
[mm] \summe_{n \ge 0} (-1)^n \bruch{2n}{\wurzel{n^2+1}}
[/mm]
Und zu guter Letzt noch das notwendige Kriterium bei Reihen. Das ist ja, dass die Folgen der Partialsummen gegen 0 laufen. Hängt das irgendwie mit dem Leibnizkriterium zusammen? Ich weiß nicht warum, aber es schwirrt in meinem Kopf herum, dass ich das wissen sollte.
Ich danke dir für deine Geduld. Reihen und Folgen sind für mich echt tricky..
Aber ich brauche nach der Klausur diese Regeln nie wieder, deshalb geht es im Grunde nur um eher oberflächliche Erklärungen, die ich brauche :)
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Hallo Englein!
> Und was mir auch noch Probleme bereitet: Das
> Leibniz-Kriterium. Das hängt ja ganz eng mit der
> (harmonisch) alternierenden Reihe zusammen, oder?
Die alternierende harmonische Reihe ist das "klassische" Beispiel für die Anwendung des Leibniz-Kriteriums.
> zB:
>
>
> [mm]\summe_{n \ge 0} (-1)^n \bruch{2}{\wurzel{n^2+1}}[/mm]
>
> oder
>
> [mm]\summe_{n \ge 0} (-1)^n \bruch{2n}{\wurzel{n^2+1}}[/mm]
Auf diese Reihe kann man nicht das Leibniz-Kriterium anwenden, da es sich um keine Nullfolge handelt.
> Und zu guter Letzt noch das notwendige Kriterium bei
> Reihen. Das ist ja, dass die Folgen der Partialsummen gegen
> 0 laufen. Hängt das irgendwie mit dem Leibnizkriterium
> zusammen?
Nein.
Bzw. nur in dem Maße, dass es sich für die Leibniz'sche Anwendung ebenfalls um eine Nullfolge handeln muss.
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:49 Fr 30.01.2009 | | Autor: | Englein89 |
Danke, das macht Sinn :)
Kann mir noch jemand die anderen Fragen beantworten, vor allem den Satz von Cauchy for Folgen?
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Ich möchte nochmals eine Rückfrage zum Leibniz Kriterium stellen.
Bei Leibniz habe ich ja immer eine Reihe der Form
[mm] (-1)^n *a_n
[/mm]
und diese Reihe konvergiert, wenn [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge ist, oder?
Warum divergiert dann diese Reihe?
[mm] (-n)^n+1/n
[/mm]
1/n ist doch eine Nullfolge, also bliebe nur noch [mm] (-n)^n [/mm] und das erinnert mich an das Leibniz-Kriterium. Zumindest haben wir das als Beispiel gehabt, als wir das Kriterium hatten.
Wie würde ich diese Aufgabe lösen?
Ähnliches Problem bei:
[mm] \summe_{i=1}^{n} (-1)^{2n+1} [/mm] * [mm] \bruch{2n-2}{4n+1}
[/mm]
Was würde ich denn damit machen? Erinnert mich auch an Leibniz, aber man hat hier das Wurzelkriterium genommen, aber wieso bleibt dann nur noch [mm] \bruch{2n-2}{4n+1}?
[/mm]
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> Ich möchte nochmals eine Rückfrage zum Leibniz Kriterium
> stellen.
>
> Bei Leibniz habe ich ja immer eine Reihe der Form
>
> [mm](-1)^n *a_n[/mm]
Hallo,
Du hast eine Reihe [mm] \summe (-1)^n *a_n
[/mm]
> und diese Reihe konvergiert, wenn [mm]a_n[/mm] eine Nullfolge ist,
> oder?
Nein. Die Reihe konvergiert, wenn die Folgenglieder [mm] a_n [/mm] nichtnegativ sind, und wenn [mm] a_n [/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist.
>
> Warum divergiert dann diese Reihe?
>
> [mm](-n)^n+1/n[/mm]
Diese: [mm] \summe ((-n)^n+1/n) [/mm] ?
>
> 1/n ist doch eine Nullfolge, also bliebe nur noch [mm](-n)^n[/mm]
> und das erinnert mich an das Leibniz-Kriterium. Zumindest
> haben wir das als Beispiel gehabt, als wir das Kriterium
> hatten.
Ich sehe hier zunächst mal wenig Ähnlichkeit zum Leibnizkriterium.
Ist denn [mm] (-n)^n+1/n [/mm] eine Nullfolge? Eher nicht, oder?
>
> Wie würde ich diese Aufgabe lösen?
> Ähnliches Problem bei:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} (-1)^{2n+1}[/mm] * [mm]\bruch{2n-2}{4n+1}[/mm]
>
> Was würde ich denn damit machen? Erinnert mich auch an
> Leibniz,
Das trügt:
Erstens alterniert die Reihe überhaupt nicht, denn [mm] (-1)^{2n+1}=-1 [/mm] für alle n,
und [mm] \bruch{2n-2}{4n+1} [/mm] ist weder eine Nullfolge noch monoton fallend.
> man hat hier das Wurzelkriterium genommen,
> aber wieso bleibt dann nur noch [mm]\bruch{2n-2}{4n+1}?[/mm]
Beim Wurzelkriterium bleibt doch nicht nur [mm] \bruch{2n-2}{4n+1}? [/mm] Vielleicht machst Du mal vor, was Ihr gemacht habt.
Wie gesagt: [mm] (-1)^{2n+1} [/mm] * [mm]\bruch{2n-2}{4n+1}[/mm] ist doch gar keine Nullfolge.
Gruß v. Angela
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> > Ich möchte nochmals eine Rückfrage zum Leibniz Kriterium
> > stellen.
> >
> > Bei Leibniz habe ich ja immer eine Reihe der Form
> >
> > [mm](-1)^n *a_n[/mm]
>
> Hallo,
>
> Du hast eine Reihe [mm]\summe (-1)^n *a_n[/mm]
>
> > und diese Reihe konvergiert, wenn [mm]a_n[/mm] eine Nullfolge ist,
> > oder?
>
> Nein. Die Reihe konvergiert, wenn die Folgenglieder [mm]a_n[/mm]
> nichtnegativ sind, und wenn [mm]a_n[/mm] eine monoton fallende
> Nullfolge ist.
>
> >
> > Warum divergiert dann diese Reihe?
> >
> > [mm](-n)^n+1/n[/mm]
>
> Diese: [mm]\summe ((-n)^n+1/n)[/mm] ?
> >
> > 1/n ist doch eine Nullfolge, also bliebe nur noch [mm](-n)^n[/mm]
> > und das erinnert mich an das Leibniz-Kriterium. Zumindest
> > haben wir das als Beispiel gehabt, als wir das Kriterium
> > hatten.
>
> Ich sehe hier zunächst mal wenig Ähnlichkeit zum
> Leibnizkriterium.
>
> Ist denn [mm](-n)^n+1/n[/mm] eine Nullfolge? Eher nicht, oder?
>
>
Wie komme ich dann auf das Ergebnis, dass diese Reihe divergiert?
> >
> > Wie würde ich diese Aufgabe lösen?
> > Ähnliches Problem bei:
> >
> > [mm]\summe_{i=1}^{n} (-1)^{2n+1}[/mm] * [mm]\bruch{2n-2}{4n+1}[/mm]
> >
> > Was würde ich denn damit machen? Erinnert mich auch an
> > Leibniz,
>
> Das trügt:
>
> Erstens alterniert die Reihe überhaupt nicht, denn
> [mm](-1)^{2n+1}=-1[/mm] für alle n,
>
> und [mm]\bruch{2n-2}{4n+1}[/mm] ist weder eine Nullfolge noch
> monoton fallend.
>
>
> > man hat hier das Wurzelkriterium genommen,
> > aber wieso bleibt dann nur noch [mm]\bruch{2n-2}{4n+1}?[/mm]
>
> Beim Wurzelkriterium bleibt doch nicht nur
> [mm]\bruch{2n-2}{4n+1}?[/mm] Vielleicht machst Du mal vor, was Ihr
> gemacht habt.
>
> Wie gesagt: [mm](-1)^{2n+1}[/mm] * [mm]\bruch{2n-2}{4n+1}[/mm] ist doch gar
> keine Nullfolge.
>
Ich weiß auch nicht wie ich auch das Ergebnis komme, bzw mein Prof. Denn hier steht nur der Schritt von der Anwendung des Wurzelkriteriums und dann nur noch der Bruch.
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> > Ist denn [mm](-n)^n+1/n[/mm] eine Nullfolge? Eher nicht, oder?
> >
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> Wie komme ich dann auf das Ergebnis, dass diese Reihe
> divergiert?
Hallo,
es gilt doch
[mm] \summe a_n [/mm] konvergiert ==> [mm] a_n [/mm] ist Nullfolge.
Gleichbedeutend ist:
[mm] a_n [/mm] ist keine Nullfolge ==> [mm] \summe a_n [/mm] konvergiert nicht.
Gruß v. Angela
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> > > Ist denn [mm](-n)^n+1/n[/mm] eine Nullfolge? Eher nicht, oder?
> > >
> > >
> >
> > Wie komme ich dann auf das Ergebnis, dass diese Reihe
> > divergiert?
>
> Hallo,
>
> es gilt doch
>
> [mm]\summe a_n[/mm] konvergiert ==> [mm]a_n[/mm] ist Nullfolge.
>
> Gleichbedeutend ist:
>
> [mm]a_n[/mm] ist keine Nullfolge ==> [mm]\summe a_n[/mm] konvergiert nicht.
>
Wir sagten, dass diese Folge keine Nullfolge sei, also ist doch die Reihe einer solchen Nicht-Nullfolge doch schonmal nicht divergent, oder? Aber sie ist ja divergent.
Wie zeige ich das?
Kannst du nochmal über die zweite Reihe schauen, wo ich auch nicht weiter wusste? Vermutlich ist es gerade untergangen, weil ich alles zitiert habe, um den Weg nochmal aufzuzeigen.
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> >
> > > > Ist denn [mm](-n)^n+1/n[/mm] eine Nullfolge? Eher nicht, oder?
> > > >
> > > >
> > >
> > > Wie komme ich dann auf das Ergebnis, dass diese Reihe
> > > divergiert?
> >
> > Hallo,
> >
> > es gilt doch
> >
> > [mm]\summe a_n[/mm] konvergiert ==> [mm]a_n[/mm] ist Nullfolge.
> >
> > Gleichbedeutend ist:
> >
> > [mm]a_n[/mm] ist keine Nullfolge ==> [mm]\summe a_n[/mm] konvergiert nicht.
> >
>
> Wir sagten, dass diese Folge keine Nullfolge sei,
Hallo,
ja.
> also ist
> doch die Reihe einer solchen Nicht-Nullfolge doch schonmal
> nicht divergent, oder?
???
Ich habe doch oben geschrieben, daß daraus, daß [mm] a_n [/mm] keine Nullfolge ist, folgt, daß die reihe [mm] \summe a_n [/mm] divergiert.
> Aber sie ist ja divergent.
> Wie zeige ich das?
Indem Du glaubhaft machst, daß die Folge [mm] (-n)^n+1/n [/mm] keine Nullfolge ist.
>
> Kannst du nochmal über die zweite Reihe schauen, wo ich
> auch nicht weiter wusste? Vermutlich ist es gerade
> untergangen, weil ich alles zitiert habe, um den Weg
> nochmal aufzuzeigen.
Nein, ich bin darauf nicht eingegangen, weil ich keine Frage gesehen habe.
Warum die nicht konvergiert, hab ich vorher ja schon gesagt.
Gruß v. Angela
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Die Frage war, wieso bei Anwendung der Wurzelkriteriums nur noch [mm] \bruch{2n-2}{4n+1} [/mm] stehen bleibt, wenn ich die Konvergenz von [mm] \summe_{i=1}^{n} (-1)^{2n+1}*\bruch{2n-2}{4n+1} [/mm] mit dem Wurzelkriterium bestimmen will.
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> Die Frage war, wieso bei Anwendung der Wurzelkriteriums nur
> noch [mm]\bruch{2n-2}{4n+1}[/mm] stehen bleibt, wenn ich die
> Konvergenz von [mm]\summe_{i=1}^{n} (-1)^{2n+1}*\bruch{2n-2}{4n+1}[/mm]
> mit dem Wurzelkriterium bestimmen will.
Hallo,
wenn Du partout das Wurzelkriterium hier verwenden willst, obglich man aufgrund der Tatsache, daß man keine Nullfolge hat, sofort weiß, daß die Reihe nicht konvergiert, so behältst Du nicht [mm]\bruch{2n-2}{4n+1}[/mm] ,
sondern [mm] \wurzel[n]{\bruch{2n-2}{4n+1}}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Wieso siehst du, dass es eine Nullfolge ist? okay, es ist auf jeden Fall ein negativer Ausdruck, aber heißt das auch immer, dass es eine Nullfolge ist?
Aber wenn ich [mm] \wurzel[n]{\bruch{2n-2}{4n+1}} [/mm] habe, dann bringt es mich doch auch immernoch nicht weiter, oder? Wie komme ich auf 1/2? Vor allem müsste ich doch [mm] \wurzel[n]{-\bruch{2n-2}{4n+1}} [/mm] haben, weil [mm] (-1)^{2n+1} [/mm] doch für alle n ungerade wird?
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> Wieso siehst du, dass es eine Nullfolge ist?
Hallo,
gar nicht.
Ich sehe, daß es keine Nullfolge ist.
> okay, es ist
> auf jeden Fall ein negativer Ausdruck, aber heißt das auch
> immer, dass es eine Nullfolge ist?
Nein, natürlich nicht. Die Folge mit [mm] a_n:= [/mm] -n z.B. geht ja bestimmt nicht gegen 0.
>
> Aber wenn ich [mm]\wurzel[n]{\bruch{2n-2}{4n+1}}[/mm] habe, dann
> bringt es mich doch auch immernoch nicht weiter, oder? Wie
> komme ich auf 1/2? Vor allem müsste ich doch
> [mm]\wurzel[n]{-\bruch{2n-2}{4n+1}}[/mm] haben, weil [mm](-1)^{2n+1}[/mm]
> doch für alle n ungerade wird?
Schau Dir das Wurzelkriterium mal richtig an:
man berechnet [mm] \wurzel[n]{\red{|}a_n\red{|}}.
[/mm]
Aber wie gesagt: ich würde es hier nicht anwenden.
Es ist doch [mm] \bruch{2n-2}{4n+1}=\bruch{2-\bruch{2}{n}}{4+\bruch{1}{n}}.
[/mm]
Und wenn nun n gegen [mm] \infty [/mm] läuft? Dann geht der Ausdruck gegen [mm] \bruch{1}{2}, \qqad (-1)^{2n+1}\bruch{2n-2}{4n+1} [/mm] also gegen [mm] -\bruch{1}{2}.
[/mm]
Also: keine Nullfolge ==> zugehörige Reihe nicht konvergent.
Gruß v. Angela
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> Also: keine Nullfolge ==> zugehörige Reihe nicht
> konvergent.
>
Das verwirrt mich nun ein wenig. Wenn ich doch eine Nullfolge habe, weiß ich, dass die Reihe divergiert. Hier habe ich also keine Nullfolge, da ich für den Bruch einen Grenzwert bekomme und mit -1 multipliziert ist es ja trotzdem noch konvergent.
Aber wenn man nun sagt, es ist keine Nullfolge, dann muss ich doch mit einem Kriterium untersuchen, ob es konvergiert oder doch divergiert oder nicht? Dann muss ich doch hier trotzdem das Wurzelkriterium nehmen. Wieso brauche ich es denn nicht?
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> >
> > Also: keine Nullfolge ==> zugehörige Reihe nicht
> > konvergent.
> >
>
> Das verwirrt mich nun ein wenig. Wenn ich doch eine
> Nullfolge habe, weiß ich, dass die Reihe divergiert.
Nein, nein, nein!
Ich hatte Dir das doch an anderer Stelle unter dem Betreff "Logik" erklärt - und noch mehrfach sonst:
Wenn [mm] \summe a_n [/mm] konvergiert, so folgt, daß [mm] a_n [/mm] Nullfolge ist.
Wenn [mm] a_n [/mm] keine Nullfolge ist, konvergiert [mm] \summe a_n [/mm] ganz sicher nicht.
(Wenn [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge ist, konvergiert [mm] \summe a_n [/mm] vielleicht.)
> Hier
> habe ich also keine Nullfolge,
Genau. Die Folge [mm] a_n:= [/mm] - [mm] \bruch{2n-2}{4n+1} [/mm] konvergiert nämlich gegen [mm] -\bruch{1}{2},
[/mm]
und deshalb konvergiert [mm] \summe(-1)^{2n+1}\bruch{2n-2}{4n+1} [/mm] nicht.
> da ich für den Bruch einen
> Grenzwert bekomme und mit -1 multipliziert ist es ja
> trotzdem noch konvergent.
>
> Aber wenn man nun sagt, es ist keine Nullfolge,
dann weißt Du, daß die Reihe, die mit dieser Folge gebaut wird, nicht konvergiert.
Du brauchst dann kein weiteres Kriterium mehr.
Gruß v. Angela
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Ich glaube, dann habe ich die ganze Zeit etwas falsch gemacht. Ich fasse nochmal zusammen, wie ich das jetzt verstehe. Bitte korrigiert mich, wenn ich falsch liege.
Also bei der Untersuchung von Reihenkonvergenz:
Erst schauen ob [mm] a_n [/mm] von
[mm] \summe_{i=1}^{n} a_n [/mm] eine Nullfolge ist. Wenn nicht, dann divergiert die Reihe auf jeden Fall. Ansonsten muss ich ein Kriterium anwenden, das ich kenne.
Dann habe ich zB Leibniz, der mir für Reihen der Form [mm] \summe_{i=1}^{n} (-1)^n a_n [/mm] sagt, dass wenn [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge ist, die Reihe konvergiert (im Gegensatz zum ersten Kriterium).
Habe ich aber zB die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] 1/n + [mm] (-n)^n, [/mm] dann weiß ich: Keine Nullfolge, also divergente Reihe.
Habe ich aber [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{(-1)^n}{n}, [/mm] dann hat das nichts mit Leibniz zu tun, sondern ich fasse es, wie bei allen anderen Konvergenzkriterien für Reihen erstmal in Betragsstriche, also [mm] |\bruch{(-1)^n}{n}| [/mm] und schaue mir dann an, was die Folge der Partialsummen macht. In dem Fall kann ich dann (ist das immer so) die negativen Ergebnisse vernchässigen, also habe ich 1/n und weiß, dass diese Filge divergiert, also keine Nullfolge ist. Demnach müsste ich hier also ein benakktes Kriterium anwenden?
Welches wäre das aber in diesem Fall?
Wie ist das eigentlich mit der absoluten Konvergenz? Wann kann ich in der Regel sagen, dass eine Reihe auch absolut konvergiert?
Danke!
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> Also bei der Untersuchung von Reihenkonvergenz:
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> Erst schauen ob [mm]a_n[/mm] von
> [mm]\summe_{i=1}^{n} a_n[/mm] eine Nullfolge ist. Wenn nicht, dann
> divergiert die Reihe auf jeden Fall.
Hallo,
ja!!!!! jetzt hast Du's geschnallt!
> Ansonsten muss ich ein
> Kriterium anwenden, das ich kenne.
Genau.
>
> Dann habe ich zB Leibniz, der mir für Reihen der Form
> [mm]\summe_{i=1}^{n} (-1)^n a_n[/mm] sagt, dass wenn [mm]a_n[/mm] eine
> Nullfolge ist, die Reihe konvergiert
das hatten wir neulich schon: wenn [mm] a_n [/mm] eine nichtnegative monoton fallende Nullfolge ist, sagt Leibniz Dir, daß die Reihe konvergiert.
> Habe ich aber zB die Reihe [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] 1/n + [mm](-n)^n,[/mm]
> dann weiß ich: Keine Nullfolge, also divergente Reihe.
Ja.
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> Habe ich aber [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{(-1)^n}{n},[/mm]
dann solltest Du im Repertoire haben, daß das die alternierende harmonische Reihe ist, welche konvergiert.
> dann hat
> das nichts mit Leibniz zu tun,
Leibniz kannst Du durchaus verwenden: die reihe alterniert, und es ist 1/n eine nichtnegative, monoton fallende Nullfolge.
> sondern ich fasse es, wie
> bei allen anderen Konvergenzkriterien für Reihen erstmal in
> Betragsstriche, also [mm]|\bruch{(-1)^n}{n}|[/mm] und schaue mir
> dann an, was die Folge der Partialsummen macht
Mir ist nicht klar, aus welchem Grund Du das tust. [mm] \bruch{(-1)^n}{n} [/mm] ist eine Nullfolge, [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ist eine Nullfolge,
die alternierende harmonische Reihe konvergiert, die harmonische divergiert.
> In dem Fall
> kann ich dann (ist das immer so) die negativen Ergebnisse
> vernchässigen, also habe ich 1/n und weiß, dass diese Filge
> divergiert, also keine Nullfolge ist. Demnach müsste ich
> hier also ein benakktes Kriterium anwenden?
????
>
> Welches wäre das aber in diesem Fall?
>
> Wie ist das eigentlich mit der absoluten Konvergenz? Wann
> kann ich in der Regel sagen, dass eine Reihe auch absolut
> konvergiert?
Es konvergiert [mm] \summe a_n [/mm] absolut, wenn auch [mm] \summe |a_n| [/mm] konvergiert.
Die alternierende harmonische Reihe ist ein Beispiel für eine Reihe, welche zwar konvegiert, jedoch nicht absolut.
Gruß v. Angela
>
> Danke!
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> > sondern ich fasse es, wie
> > bei allen anderen Konvergenzkriterien für Reihen erstmal in
> > Betragsstriche, also [mm]|\bruch{(-1)^n}{n}|[/mm] und schaue mir
> > dann an, was die Folge der Partialsummen macht
>
> Mir ist nicht klar, aus welchem Grund Du das tust.
> [mm]\bruch{(-1)^n}{n}[/mm] ist eine Nullfolge, [mm]\bruch{1}{n}[/mm] ist eine
> Nullfolge,
>
> die alternierende harmonische Reihe konvergiert, die
> harmonische divergiert.
>
Ich mache das um festzustellen, welches Konvergenzverhalten diese Reihe nun hat. Wie könnte ich das in dem Fall denn zeigen? Es ist ja eine Nullfolge, also muss ich weiter untersuchen.
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> > > sondern ich fasse es, wie
> > > bei allen anderen Konvergenzkriterien für Reihen erstmal in
> > > Betragsstriche, also [mm]|\bruch{(-1)^n}{n}|[/mm] und schaue mir
> > > dann an, was die Folge der Partialsummen macht
> >
> > Mir ist nicht klar, aus welchem Grund Du das tust.
> > [mm]\bruch{(-1)^n}{n}[/mm] ist eine Nullfolge, [mm]\bruch{1}{n}[/mm] ist eine
> > Nullfolge,
> >
> > die alternierende harmonische Reihe konvergiert, die
> > harmonische divergiert.
> >
>
> Ich mache das um festzustellen, welches Konvergenzverhalten
> diese Reihe nun hat. Wie könnte ich das in dem Fall denn
> zeigen? Es ist ja eine Nullfolge, also muss ich weiter
> untersuchen.
Um welche Reihe geht's jetzt?
[mm] \summe (-1)^n\bruch{1}{n} [/mm] ?
Erstens weiß "man" daß sie konvergiert, zweitens habe ich doch gesagt: z.B. mit dem Leibnizkriterium.
Daß [mm] \summe [/mm] {1}{n} divergiert, solltest Du im Schatzkästchen haben.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Mo 02.02.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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