allg. Lösung für DGL < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Geben SIe die allgemeine Lösung für folgende DGL an:
y'=(x-3y)/x
Bestimmen Sie die spezielle Lösung zur Anfangsbed y(1)=2 |
nun, ich habe soweit gerechnet wie ich nur kann:
y'=f(y/x) f(y/x)=x-3y/x
u=y/x daraus folgt y'=f(u)
y=ux
y'=u'x+u
u'x+u=f(u)
(du/dx) x = f(u) - u
daraus wird nun
du/ (f(u)-u) = dx/x
, so und nun muss man vom Prinzip her eine Trennung der Variablen durchführen. Da hab ich aber überhaupt keine Erfahrung drin, wäre für eine ausführlich und nachvollziehbare Antwort dankbar !
Gruß Frankstar
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Frankstar,
> Geben SIe die allgemeine Lösung für folgende DGL an:
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> y'=(x-3y)/x
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> Bestimmen Sie die spezielle Lösung zur Anfangsbed y(1)=2
> nun, ich habe soweit gerechnet wie ich nur kann:
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> y'=f(y/x) f(y/x)=x-3y/x
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> u=y/x daraus folgt y'=f(u)
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> y=ux
> y'=u'x+u
> u'x+u=f(u)
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> (du/dx) x = f(u) - u
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> daraus wird nun
>
> du/ (f(u)-u) = dx/x
>
> , so und nun muss man vom Prinzip her eine Trennung der
> Variablen durchführen. Da hab ich aber überhaupt keine
> Erfahrung drin, wäre für eine ausführlich und
> nachvollziehbare Antwort dankbar !
Du machst es dir viel zu kompliziert.
Die Dgl kannst du direkt mit Trennung der Variablen lösen:
Schreibe etwas um:
[mm]y'=1-\frac{3y}{x}[/mm]
Löse nun zuerst die homogene Dgl [mm]y'=-\frac{3y}{x}[/mm] durch TdV:
[mm]\frac{1}{3}\frac{1}{y} \ y' \ = \ -\frac{1}{x}[/mm]
Mit [mm]y'=\frac{dy}{dx}[/mm] dann [mm]\frac{1}{3}\frac{1}{y} \ dy \ = \ -\frac{1}{x} \ dx[/mm]
Nun beiderseits integrieren und nach y auflösen.
Kontrolle:
[mm]y_{hom}=c\cdot{}x^{-3}[/mm]
Nun eine inhomogene Lösung durch Variation der Konstante bestimmen:
Mache das [mm]c[/mm] von x abh.
[mm]y_{inh}=c(x)\cdot{}x^{-3}[/mm]
Das nun ableiten und mit der Ausgangsdgl vergleichen, dann bekommst du eine Bed. $c'(x)=...$, da kannst du dann integrieren, um [mm]c(x)[/mm] zu bestimmen.
Wenn du das hast, ist [mm]y=y_{hom}+y_{inh}[/mm]
Damit hast du die allg. der Dgl. (die von einem Parameter [mm]\tilde c[/mm] abh.)
Dieses kannst du im weiteren durch Einsetzen des Anfangswertes bestimmen und so die Anfangswertaufgabe eind. lösen
> Gruß Frankstar
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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Hi, danke schonmal der Anfang leuchtet mir jetzt ein.
Aber ich komm beim integrieren nicht wie du auf y(hom)=c x ^-3
wie kommst du darauf?
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Hallo nochmal,
> Hi, danke schonmal der Anfang leuchtet mir jetzt ein.
> Aber ich komm beim integrieren nicht wie du auf y(hom)=c x ^-3
> wie kommst du darauf?
Naja, das ergibt sich ja nicht beim Integrieren direkt, sondern wenn du auf beiden Seiten integrierst und dann nach y auflöst:
[mm]\int{-\frac{1}{3}\cdot{}\frac{1}{y} \ dy} \ = \ \int{\frac{1}{x} \ dx}[/mm]
[mm]\Rightarrow -\frac{1}{3}\ln(|y|) \ = \ \ln(|x|)+c_0[/mm]
Das gilt es nach y aufuzlösen ...
Rechne nun nochmal nach und, wenn du nicht auf das obige Ergebnis kommst, hier vor!
Alles verraten wollen wir ja auch nicht 
Gruß
schachuzipus
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ich würde jetzt mit e weiterrechnen:
Integr dy/3y = - Integr dx/x , du hast vorhiin das minus vergessen
1/3 ln(y) = -ln(x)+c
javascript:x(); 1/3 e^ln(y)=e^-x
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Hallo nochmal,
> ich würde jetzt mit e weiterrechnen:
>
> Integr dy/3y = - Integr dx/x , du hast vorhiin das
> minus vergessen
Ja, habe ich nacheditiert ....
>
> 1/3 ln(y) = -ln(x)+c
>
> javascript:x(); 1/3 e^ln(y)=e^-x
Erstmal hast du Beträge, also [mm]-\frac{1}{3}\ln(|y|)=\ln(|x|)+c_0[/mm] mit [mm]c_0\in\IR[/mm]
Damit [mm]\ln(|y|)=-3\ln(|x|)-3c_0=\ln\left(|x|^{-3}\right)+c_1[/mm] mit [mm]c_1\in\IR[/mm]
Also [mm]|y|=e^{\ln\left(|x|^{-3}\right)+c_1}=e^{\ln\left(|x|^{-3}\right)}\cdot{}e^{c_1}=c_2\cdot{}|x|^{-3}[/mm], [mm]c_2\in\IR^{\ge 0}[/mm]
Damit [mm]y=c\cdot{}x^{-3}[/mm], [mm]c\in\IR[/mm]
Gruß
schachuzipus
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ok, hab jetzt Y(inh.) abgeleitet.
y(inh.)=c(x) x^-3
y'= dy/dx= (c(x) x^-3)'
=c'(x) x^-3+c(x) 9x^-4
inhomogene Dgl. Formel: y'+f(x)y=s(x)
y' einsetzen:
c'(x)x^-3 +c(x) 9 x^-4 + f(x) c(x) x^-3 =s(x)
nach c(x) auflösen liefert:
c(x)=((c'(x) x^-3)-s(x)) / ((c(x) (-9x^(-4)-f(x)x^-3)
, dieses setze ich nun in y=c x ^-3 ein und erhalte die allgemeine Lösung?
was ist mit der speziellen Lösung zur Anfangsbedingung y(1)=2 ??
und ist ganz zu Beginn der Rechnung nicht auch eine Fallunterscheidung notwendig ?
vielen Dank im Vorraus und noch schönen 1 mai.
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Hallo nochmal,
> ok, hab jetzt Y(inh.) abgeleitet.
>
> y(inh.)=c(x) x^-3
>
> y'= dy/dx= (c(x) x^-3)' ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> =c'(x) x^-3+c(x) 9x^-4 ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Das gibt doch [mm]y'=\red{c'(x)x^{-3}-3c(x)x^{-4}}[/mm]
Andererseits, wenn du mit der Ausgangsdgl. vergleichst:
[mm]y'=1-\frac{3y}{x}=1-\frac{3c(x)x^{-3}}{x}=\red{1-3c(x)x^{-4}}[/mm]
Also [mm]1=c'(x)x^{-3}[/mm] und damit [mm]c'(x)=x^3[/mm]
Also ...
>
> inhomogene Dgl. Formel: y'+f(x)y=s(x)
>
> y' einsetzen:
>
> c'(x)x^-3 +c(x) 9 x^-4 + f(x) c(x) x^-3 =s(x)
>
> nach c(x) auflösen liefert:
>
> c(x)=((c'(x) x^-3)-s(x)) / ((c(x) (-9x^(-4)-f(x)x^-3)
>
> , dieses setze ich nun in y=c x ^-3 ein und erhalte die
> allgemeine Lösung?
>
> was ist mit der speziellen Lösung zur Anfangsbedingung
> y(1)=2 ??
Das setzt du nachher in die allg. Lösung [mm]y=y_{hom.}+y_{part.}[/mm] ein, um das c konkret zu bestimmen, dass zu der Anfangswertbedingung passt.
>
> und ist ganz zu Beginn der Rechnung nicht auch eine
> Fallunterscheidung notwendig ?
Inwiefern?
>
> vielen Dank im Vorraus und noch schönen 1 mai.
Ein "r" genügt vollkommen!
Dir auch einen schönen 1.Mai!
Gruß
schachuzipus
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Frage: muss ich jetzt das c in y(hom) einsetzen oder in die Formel
y'+f(x) y = s(x)
was nehme ich für f(x) ???
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Hallo Frankstar,
> Frage: muss ich jetzt das c in y(hom) einsetzen oder in die
> Formel
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> y'+f(x) y = s(x)
>
> was nehme ich für f(x) ???
>
Das c setzt Du jetzt in diese Formel ein: [mm]y\left(inh\right)= c\left(x\right)*x^{-3}[/mm] .
Gruss
MathePower
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