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| Aufgabe | | [mm] \int_{-1}^1 (x^2-1)^n \;dx [/mm] = [mm] \frac{(-1)^n 2^{2n+1}}{\binom{2n}{n}(2n+1)} [/mm] |
Hallo,
ich muss die Gleichheit zeigen. Ich denke mir, dass vollst. Induktion der richtige Weg ist. Ind.-Anfang ist auch kein Problem. Nun nehme ich an, dass o.g. gilt und zeige, dass auch [mm] \int_{-1}^1 (x^2-1)^{n+1} \;dx [/mm] = [mm] \frac{(-1)^{n+1}2^{2n+3}}{\binom{2n+2}{n+1}(2n+3)} [/mm] gilt.
Also:
[mm] $\int_{-1}^1 (x^2-1)^{n+1} [/mm] dx = [mm] \int_{-1}^1 (x^2-1)^n (x^2-1)dx [/mm] $
Nun würde ich partiell Integrieren. Da ich das Ergebnis von [mm] $\int_{-1}^1 (x^2-1)^n [/mm] dx$ ja nach Ind. Vor. kenne, setze ich dann noch -1 und 1 ind [mm] (x^2-1) [/mm] ein, so wird dies zu 0. Also habe ich nur noch stehen:
[mm] $-\int_{-1}^1 \left( \int(x^2-1)^n dx\right) [/mm] * 2x dx$
Damit komme ich aber nicht weiter. Kann wer helfen?
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Ich würde hier nicht die Induktion bemühen, sondern die binomische Summendarstellung von [mm] (x^2-1)^n, [/mm] einmal für x=1 und einmal für x=-1. Damit ist man dann schnell fertig.
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hm, so in etwa:
[mm] \int (x^2-1)^n [/mm] dx = [mm] \int ((-1)+x^2)^n [/mm] dx [mm] =\int \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k x^{2(n-k)} [/mm] dx = [mm] \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k \frac{1}{2(n-k)+1}x^{2(n-k)+1} [/mm]
jetzt Grenzen einsetzen, da der Exponent ungerade ist, folgt:
[mm] $2*\left( \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k \frac{1}{2(n-k)+1}\right)$
[/mm]
Ich bin leider damit nicht schnell fertig :(
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Sieht aber schon gut aus. Nur: wo ist das Integral geblieben?
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Verstehe deine Frage leider nicht so ganz... ich hab doch das Integral in die Summe gezogen und dann integriert. Und anschließend 1 und -1 eingesetzt.
Ich weiß auch überhaupt nicht, wie ich von so einem Ausdruck schließlich auf das gewünschte Ergebnis kommen soll, wo ist die Summe hin etc...
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Ah, pardon. Da habe ich zu schnell gelesen.
Wenn Du mit der Umformung nicht weiterkommst, probier mal Loddars Weg. Da bist Du in (n+1) Schritten dem Ziel sehr sehr nahe.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:20 Di 13.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Patrick!
Es geht auch sofort mit partieller Integration:
[mm] $$\integral_{-1}^{+1}{\left(x^2-1\right)^n \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{-1}^{+1}{\left[(x-1)*(x+1)\right]^n \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{-1}^{+1}{(x-1)^n*(x+1)^n \ dx} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:30 Di 13.01.2009 | | Autor: | reverend |
Interessante Idee. Diese Rechnung möchte ich gern weiter sehen, vor allem ohne Induktion. Mit anderen Worten: was heißt "sofort"?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:06 Di 13.01.2009 | | Autor: | XPatrickX |
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Ist es dabei egal welchen Faktor ich integriere und welchen ich differenziere?
Also ich bin soweit, dass bei der partiellen Integration der erste Teil (also der ohne Integral) immer Null wird.
Dadurch habe ich nur noch:
[mm] -\int_{-1}^{1} n(x-1)^{n-1} \frac{1}{n+1}(x+1)^{n+1} [/mm] dx
Dies muss ich jetzt immer wieder so machen, aber ich komme dabei irgendwie nie auf das richtige Endergebnis. Ich kann mir die einzelnen Iterationsschritte auch nicht richtig vorstellen
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Hallo XPatrickX,
> Ist es dabei egal welchen Faktor ich integriere und welchen
> ich differenziere?
>
> Also ich bin soweit, dass bei der partiellen Integration
> der erste Teil (also der ohne Integral) immer Null wird.
> Dadurch habe ich nur noch:
>
> [mm]-\int_{-1}^{1} n(x-1)^{n-1} \frac{1}{n+1}(x+1)^{n+1}[/mm] dx
>
> Dies muss ich jetzt immer wieder so machen, aber ich komme
> dabei irgendwie nie auf danas richtige Endergebnis. Ich kann
> mir die einzelnen Iterationsschritte auch nicht richtig
> vorstellen
Mach doch das ganze mit vollständiger Induktion.
Dann mußt Du allerdings einmal partiell integrieren:
[mm]\integral_{-1}^{+1}{\left(x^{2}-1\right)^{n+1} \ dx}=\left x*\left(x^{2}-1\right)^{n+1}\right|_{-1}^{1}-\integral_{-1}^{+1}{\left(n+1\right)*\left(x^{2}-1\right)^{n}* 2x^{2} \ dx}[/mm]
Nun mußt Du nur noch das [mm]x^{2}[/mm] geeignet ersetzen,
damit Du auf eine Rekursionsformel erhältst, und damit die
vollständige Induktion anwenden kannst.
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:51 Di 13.01.2009 | | Autor: | XPatrickX |
Na, ich habe es jetzt so mehr oder weniger gut aufgeschrieben.
Danke euch auf jeden Fall.
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