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algebr. Abschluß von C(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:09 Di 25.10.2005
Autor: Galois

Hallo zusammen,

jetzt stelle ich doch auch mal eine Frage. :-)

Also: Als algebraisch abgeschlossener Körper besitzt [mm] $\IC$ [/mm] ja keine nichttriviale algebraische Körpererweiterung mehr, natürlich aber noch transzendente. Die einfachste solche Erweiterung ist [mm] $\IC(x)$, [/mm] der Körper aller rationalen Funktionen auf [mm] $\IC$, [/mm] bzw.  - was dasselbe ist - von der Riemannschen Zahlenkugel [mm] $\overline\IC$ [/mm] in sich.
Dieser Körper ist aber wiederum nicht algebraisch abgeschlossen, da z.B. [mm] $Y^2= \frac1x$ [/mm] in [mm] $\IC(x)$ [/mm] keine Lösung besitzt.

Meine Frage: Was ist der algebraische Abschluß [mm] $\overline{\IC(x)}$ [/mm] von [mm] $\IC(x)$? [/mm] [verwirrt]

Ich vermute, es müßte so ungefähr die Menge aller Riemannschen Flächen [mm] $\subseteq \overline\IC\times\overline \IC$ [/mm] mit nur endlich vielen Verzweigungspunkten von jeweils nur endlicher Ordnung sein. Ich habe aber bisher kein wirklich stichhaltiges Argument dafür finden können.

Weiß jemand mehr darüber? Der Körper [mm] $\overline{\IC(x)}$ [/mm] ist doch bestimmt ein ganz interessantes Objekt und müßte daher eigentlich auch schon einen "richtigen" Namen tragen. Aber welchen?? [keineahnung]

Grüße,
Galois

[]Bonner Mathe-Forum
        
Bezug
algebr. Abschluß von C(x): Antwortversuch
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:46 Mi 26.10.2005
Autor: Stefan

Hallo Galois!

Vorneweg: Wirklich gut kenne ich mich mit Funktionentheorie nicht mehr aus, das ist mehrere Jahre her, dass ich mich zuletzt (in meiner Diplomprüfung) damit beschäftigt habe...

Ich weiß aber, dass der algebraische Abschluss von [mm] $\IC(x)$ [/mm] ein wichtiger Bestandteil jeder Vorlesung über Riemannsche Flächen ist.

Zu jeder algebraischen Gleichung über dem Körper [mm] $\IC(x)$ [/mm] gehört eine verzweigte endliche Überlagerung

[mm] $\psi: [/mm] Y [mm] \to \hat{\IC}$, [/mm]

wobei $Y$ eine kompakte Riemannsche Fläche in der Weise ist, dass [mm] $\psi$ [/mm] analytisch wird.

$Y$ entsteht meines Wissens im Wesentlichen durch analytische Fortsetzung lokaler (!) Lösungen der gegebenen algebraischen Gleichung längs geschlossener Wege, die nicht durch die Pole der Koeffizientenfunktionen der algebraischen Gleichung gehen.

Mehr kann ich nicht sagen, da ich kein fortgeschrittenes Buch zur komplexen Analysis hier habe. Ich würde an deiner Stelle mal im Forster (Riemannsche Flächen) oder im Farkas/Kra oder im neuen Buch von Lamotke über Riemannsche Flächen nachschauen.

Ich hoffe ich konnte dir wenigstens ein bisschen weiterhelfen, trotz meiner bescheidenen Fähigkeiten.

Liebe Grüße
Stefan
Bezug
                
Bezug
algebr. Abschluß von C(x): Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:52 Mi 26.10.2005
Autor: Galois

Hallo Stefan,

vielen Dank für Deine Antwort! :-) [ok] - Das geht ja echt fix hier. :)

Jetzt weiß ich jedenfalls, wo ich weitersuchen kann. [buchlesen]

Die Frage kam bei mir übrigens im Zusammenhang mit unserer hiesigen Diskussion mit Adriana auf.

Grüße,
Galois
Bezug
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