ahnlich zu Dreiecksmatrix? < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 So 09.10.2011 | | Autor: | perl |
| Aufgabe | A:= [mm] \pmat{ 1 & \alpha^{2} - \alpha \\ 0 & 1 }
[/mm]
Für welche [mm] \alpha \in \IR [/mm] ist A ähnlich zu einer Diagonalmatrix? |
was man sofort sieht, ist dass für [mm] \alpha [/mm] = 1 oder [mm] \alpha=0 [/mm] bereits eine Diagonalmatrix vorliegt.
Für [mm] \alpha \not= [/mm] 1;0
1. Berechnen der EW t: das charakteristische Polynom hat die Lösung t=1, also ist 1 EW. Zudem ist 1 doppelte Nst.
--> algebraische Vielfachheit =2
2. ER zu EW bestimmen: für t=1 ergibt die Charakteristische Gleichung folgendes LGS:
[mm] (\alpha^{2}-\alpha)x_2=0
[/mm]
Was heißt das jetzt? wie mach ich weiter?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 So 09.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> A:= [mm]\pmat{ 1 & \alpha^{2} - \alpha \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> Für welche [mm]\alpha \in \IR[/mm] ist A ähnlich zu einer
> Diagonalmatrix?
> was man sofort sieht, ist dass für [mm]\alpha[/mm] = 1 oder
> [mm]\alpha=0[/mm] bereits eine Diagonalmatrix vorliegt.
>
> Für [mm]\alpha \not=[/mm] 1;0
>
> 1. Berechnen der EW t: das charakteristische Polynom hat
> die Lösung t=1, also ist 1 EW. Zudem ist 1 doppelte Nst.
> --> algebraische Vielfachheit =2
>
> 2. ER zu EW bestimmen: für t=1 ergibt die
> Charakteristische Gleichung folgendes LGS:
> [mm](\alpha^{2}-\alpha)x_2=0[/mm]
>
> Was heißt das jetzt? wie mach ich weiter?
Da [mm] $\alpha \neq [/mm] 0, 1$ ist doch [mm] $\alpha^2 [/mm] - [mm] \alpha \neq [/mm] 0$. Was bedeutet das fuer [mm] $x_2$?
[/mm]
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:11 So 09.10.2011 | | Autor: | perl |
> Moin!
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> > A:= [mm]\pmat{ 1 & \alpha^{2} - \alpha \\ 0 & 1 }[/mm]
> >
> > Für welche [mm]\alpha \in \IR[/mm] ist A ähnlich zu einer
> > Diagonalmatrix?
> > was man sofort sieht, ist dass für [mm]\alpha[/mm] = 1 oder
> > [mm]\alpha=0[/mm] bereits eine Diagonalmatrix vorliegt.
> >
> > Für [mm]\alpha \not=[/mm] 1;0
> >
> > 1. Berechnen der EW t: das charakteristische Polynom hat
> > die Lösung t=1, also ist 1 EW. Zudem ist 1 doppelte Nst.
> > --> algebraische Vielfachheit =2
> >
> > 2. ER zu EW bestimmen: für t=1 ergibt die
> > Charakteristische Gleichung folgendes LGS:
> > [mm](\alpha^{2}-\alpha)x_2=0[/mm]
> >
> > Was heißt das jetzt? wie mach ich weiter?
>
> Da [mm]\alpha \neq 0, 1[/mm] ist doch [mm]\alpha^2 - \alpha \neq 0[/mm]. Was
> bedeutet das fuer [mm]x_2[/mm]?
>
Das bedeutet, dass [mm] x_2=0 [/mm] sein muss.
da x1*0=0 gilt, ist [mm] x_1 [/mm] beliebig.
heißt das, dass (1 [mm] 0)^{T} [/mm] ein Eigenvektor ist und der ER somit span((1 [mm] 0)^{T} [/mm] ???
Formel: [mm] Rang(A-\lambda [/mm] E)=^{!} n-k
Für n-k gilt: t ist doppelte Nullstelle, also k=2 und n= 2 ist klar.
also ist n-k=0
Für Rang(A-t E) gilt: Rang(A-t E)=0 da für [mm] x_2=0 [/mm] gelten muss.
Wie schaut dann die Transformationsmatrix aus? da 1 doppelte:
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }?????
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:38 Di 11.10.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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