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Hallo,
ich übe momentan die Axiome für affine Räume ein.
Stimmt mein Beweis?
Sei (A, [mm] V_A, [/mm] v) ein affiner Raum über dem Vektorraum [mm] V_A [/mm] sowie P, Q, R, S [mm] \in [/mm] A. Hinweis: [mm] \overline{PQ} [/mm] bezeichnet den Verbindungsvektor von P nach Q.
Behauptung: P + [mm] \overline{QR} [/mm] = S [mm] \gdw \overline{QR} [/mm] = [mm] \overline{PS}
[/mm]
Beweis:
P + [mm] \overline{QR} [/mm] = S [mm] \gdw [/mm] P - S + [mm] \overline{QR} [/mm] = 0 [mm] \gdw \overline{SP} [/mm] + [mm] \overline{QR} [/mm] = 0 [mm] \gdw \overline{QR} [/mm] = - [mm] \overline{SP} \gdw \overline{QR} [/mm] = [mm] \overline{PS}. [/mm] Daraus folgt die Behauptung.
Benutzt wurden nur die beiden Axiome für affine Räume sowie, dass - [mm] \overline{SP} [/mm] = [mm] \overline{PS} [/mm] ist, was ich im Vorfeld bewiesen habe.
Stimmt das so? In meinem Lehrbuch wird das leider anders bewiesen.
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> Sei (A, [mm]V_A,[/mm] v) ein affiner Raum über dem Vektorraum [mm]V_A[/mm]
> sowie P, Q, R, S [mm]\in[/mm] A. Hinweis: [mm]\overline{PQ}[/mm] bezeichnet
> den Verbindungsvektor von P nach Q.
>
> Behauptung: P + [mm]\overline{QR}[/mm] = S [mm]\gdw \overline{QR}[/mm] =
> [mm]\overline{PS}[/mm]
>
> Beweis:
> P + [mm]\overline{QR}[/mm] = S [mm]\gdw[/mm] P - S + [mm]\overline{QR}[/mm] = 0
Hallo,
an dieser Stelle habe ich größte Bedenken:
Du schreibst, daß Du nur die Def. des affinen Raumes benutzt, und ich bin mir sehr sicher, daß in der Dir vorliegenden Definition die Addition (bzw. Subtraktion) zweier Punkte, wie Du sie hier vornimmst, nicht vorkommt.
Gruß v. Angela
[mm] \gdw \overline{SP}
[/mm]
> + [mm]\overline{QR}[/mm] = 0 [mm]\gdw \overline{QR}[/mm] = - [mm]\overline{SP} \gdw \overline{QR}[/mm]
> = [mm]\overline{PS}.[/mm] Daraus folgt die Behauptung.
>
> Benutzt wurden nur die beiden Axiome für affine Räume
> sowie, dass - [mm]\overline{SP}[/mm] = [mm]\overline{PS}[/mm] ist, was ich im
> Vorfeld bewiesen habe.
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> Stimmt das so? In meinem Lehrbuch wird das leider anders
> bewiesen.
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