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Könnt ihr mir vielleicht weiterhelfen, bei der Frage, wie man beweisen kann, dass eine Ebene, d.h. ein affiner Unterreum der Dimension 2 , stets von 3 paarweise verschiedenen Punkten erzeugt wird, die nicht alle auf einer Gerade liegen?
Ich meine mir ist das ziemlcih klar, ich kann mir das vorstellen, ist ja auch nicht schwer, aber ich weiß nicht, wie ich das beweisen soll. Hättet ihr vielleicht eine Idee?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:04 So 01.05.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
Geht das nicht sogar so einfach, dass du dir einen der drei Punkte wählst* und dann die Vektoren zu den anderen beiden Punkten als Basis der Ebene nimmst?
Du musst nur zeigen, dass diese beiden Vektoren linear unabhängig sind - aber zwei Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn $ [mm] v_1 [/mm] = a* [mm] v_2 [/mm] $ also wenn sie die selbe (oder entgegengesetzte) Richtung haben, also auf einer Gerade liegen und genau das soll ja hier nicht der Fall sein.
zu *) man wählt ja eigentlich den Vektor vom Nullpunkt zu dem gewählten Punkt als affine Verschiebung der Ebene
Das kann man natürlich nur so machen, wenn ihr das alles so schon hattet, wenn nicht : sag doch bitte mal, was ihr verwenden dürft.
viele Grüße
DaMenge
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Sorry, das ich erst so spät reagiere, aber ich musste noch den anderen Übungszettel fertig machen.
Das Prinzip, wie du es zeigen willst, ist mir sehr logisch. Aber welche drei Vektoern soll ich am Anfang wählen.
Ist der erste :
g: [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] + t* [mm] \vektor{x1 \\ y1}
[/mm]
und der zweite z.B.
f: [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] + s* [mm] \vektor{x2 \\ y2} [/mm]
Und was wäre dann der dritte?
Wär super, wenn du mir nochmal helfen könntets!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 So 01.05.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ich dachte wir sind im dreidimensionalem Raum, denn sonst macht eine affin-verschobene Ebene keinen Sinn.
also du hast drei Punkte gegeben:
P1=(a,b,c) ; P2=(r,s,t) und P3=(x,y,z)
dann wähle dir einen als "Stützpunkt" aus, sagen wir: P1, dann ist der Vektor , der die Verschiebung der Ebene beschreibt, ist gerade: $ [mm] \vektor{a\\b\\c} [/mm] $
jetzt nimmst du noch die Vekoren [mm] v_1 [/mm] =(P2-P1) und [mm] v_2 [/mm] =(P3-P1) als Basis der Ebene, also $ [mm] v_1=\vektor{r-a\\s-b\\t-c} [/mm] $ und $ [mm] v_2=\vektor{x-a\\y-b\\z-c} [/mm] $
Warum diese beiden Vektoren linear unabhängig sind, habe ich ja schon erwähnt...
Die Frage ist nur, ob du die Begründung schon genau SO verwenden kannst.
viele Grüße
DaMenge
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Es steht nur da, das es sich um einen affinen Unterraum der Dimension 2 handelt, deswegen bin ich von einer Ebene ausgegangen. Außerdem steht da dort auch noch, das es sich um drei paarweise Punkte handelt. Ist doch der [mm] R^2 [/mm] oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:39 Mo 02.05.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
die Punkte sollen "paarweise verschieden" sein, das ist ein mathem. Ausdruck und bedeutet : wenn du zwei Punkte nimmst, dann sind diese beiden verschieden - egal welche beiden Punkte du nimmst.
Es heißt NICHT, dass der Punkt nur zwei Komponenten hat.
Ein Unterraum der Dimension 2 ist eine Ebene, richtig!
Aber affin bedeutet doch : verschoben.
Wenn du nur zwei Dimensionen hast, in welche Richtung willst du denn verschieben?
Übrigens es steht tatsächlich nicht da, in welchem Raum du dich bewegst, wenn ihr nichts anderes als Standard defonoert habt, musst du evtl. sogar vom $ [mm] \IR^n [/mm] $ ausgehen, d.h. jeder Vektor hat n Komponenten.
Aber die Argumentation ist vollkommen die selbe nur das Aufschreiben der Vektoren nicht.
viele Grüße
DaMenge
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