affiner Koordinatenring < Algebraische Geometrie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:52 Mo 26.04.2010 | | Autor: | clee |
| Aufgabe | Sei Y [mm] \subseteq A^3 [/mm] gegeben durch Y = [mm] \{(t,t^2,t^3) | t \in k \}. [/mm] Zeigen Sie, daß O(Y) isomorph zu einem Polynomring k[X] ist.
O(Y) ist hierbei der affine Koordinatenring, [mm] A^3 [/mm] der affine Raum der Dimension 3. |
sitze schon ziemlich lange an der aufgabe und komme kein stückchen vorran. wäre für tipps sehr dankbar.
im moment sehe ich 2 lösungsansätze:
1) den iso. angeben (hier scheitere ich schon an der strucktur von O(Y) )
2) laut satz aus der vorlesung gilt O(Y) [mm] \cong O(A^3)/I(Y) [/mm] wobei I(Y) = [mm] \{f \in O(A^3) | f(P) = 0 fuer alle P \in Y \} [/mm] das Verschwindungsideal von Y ist. (auch hier fehlt mir jeglicher ansatz um isomorphie zwischen I(Y) und ... zu beweisen)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Mo 26.04.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei Y [mm]\subseteq A^3[/mm] gegeben durch Y = [mm]\{(t,t^2,t^3) | t \in k \}.[/mm]
> Zeigen Sie, daß O(Y) isomorph zu einem Polynomring k[X]
> ist.
>
> O(Y) ist hierbei der affine Koordinatenring, [mm]A^3[/mm] der affine
> Raum der Dimension 3.
> sitze schon ziemlich lange an der aufgabe und komme kein
> stückchen vorran. wäre für tipps sehr dankbar.
>
> im moment sehe ich 2 lösungsansätze:
> 1) den iso. angeben (hier scheitere ich schon an der
> strucktur von O(Y) )
> 2) laut satz aus der vorlesung gilt O(Y) [mm]\cong O(A^3)/I(Y)[/mm]
> wobei I(Y) = [mm]\{f \in O(A^3) | f(P) = 0 fuer alle P \in Y \}[/mm]
> das Verschwindungsideal von Y ist. (auch hier fehlt mir
> jeglicher ansatz um isomorphie zwischen I(Y) und ... zu
> beweisen)
Ueberleg dir, dass das Ideal $I(Y)$ durch $y - [mm] x^2$ [/mm] und $z - [mm] x^3$ [/mm] erzeugt wird, falls $x, y, z$ die drei Koordinaten von [mm] $A^3$ [/mm] sind bzgl. denen $Y$ angegeben ist.
Dann beachte, dass [mm] $O(A^3) [/mm] = k[x, y, z]$ ist.
Also musst du $O(Y) = k[x, y, z] / (y - [mm] x^2, [/mm] z - [mm] x^3)$ [/mm] genauer anschauen und zeigen, dass dies isomorph zu $k[X]$ ist.
Dazu kannst du dir ganz allgemein ueberlegen, dass [mm] $k[x_1, \dots, x_n, [/mm] y] / (y - [mm] f(x_1, \dots, x_n)) \cong k[x_1, \dots, x_n]$ [/mm] ist. Das zweimal angewendet sollte dich schnell zum Ziel bringen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:17 Mo 26.04.2010 | | Autor: | clee |
vielen danke für die schnelle antwort 
denke mit dem tipp werd ichs hinbekommen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Di 27.04.2010 | | Autor: | clee |
hat doch nicht so gut geklappt wie ich dachte.
1) wie kann ich [mm] I(Y)\subseteq (Y-X^2,Z-X^3) [/mm] zeigen? mir fehlt jeglicher ansatz ein element von I(Y) zu beschreiben ....
2) ist es formal richtig zu schreiben: [mm] K[X,Y,Z]/(Y-X^2) \cong K[X,X^2,Z] \cong [/mm] K[X,Z] da [mm] Y\equiv X^2 [/mm] in [mm] K[X,Y,Z]/(Y-X^2) [/mm] oder muss das ausführlich über den homomorphiesatz bewiesen werden um korrekt zu sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:45 Di 27.04.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> hat doch nicht so gut geklappt wie ich dachte.
>
> 1) wie kann ich [mm]I(Y)\subseteq (Y-X^2,Z-X^3)[/mm] zeigen? mir
> fehlt jeglicher ansatz ein element von I(Y) zu beschreiben
> ....
Mach das in zwei Schritten:
a) Zeige, dass fuer ein beliebiges $f [mm] \in [/mm] k[X, Y, Z]$ das Polynom $f(X, Y, Z) - f(X, [mm] X^2, X^3) \in [/mm] (Y - [mm] X^2, [/mm] Y - [mm] X^3)$ [/mm] liegt. Dafuer kannst du o.B.d.A. $f = [mm] X^a Y^b Z^c$ [/mm] schreiben.
b) Sei $f [mm] \in [/mm] I(Y)$ und setze $g := f(X, [mm] X^2, X^3) \in [/mm] k[X]$. Dann ist $g(x) = 0$ fuer alle $x [mm] \in [/mm] k$. Da $k$ ein unendlicher Koerper ist, folgt $g = 0$ und somit $f(X, Y, Z) [mm] \in [/mm] (Y - [mm] X^2, [/mm] Y - [mm] X^3)$ [/mm] nach a).
> 2) ist es formal richtig zu schreiben: [mm]K[X,Y,Z]/(Y-X^2) \cong K[X,X^2,Z] \cong[/mm]
> K[X,Z]
Erstmal: es ist [mm] $K[X,X^2,Z] [/mm] = K[X,Z]$ (und nicht nur Isomorphie!).
> da [mm]Y\equiv X^2[/mm] in [mm]K[X,Y,Z]/(Y-X^2)[/mm] oder muss das
> ausführlich über den homomorphiesatz bewiesen werden um
> korrekt zu sein?
Das haengt von eurem Wissensstand ab 
LG Felix
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