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| Aufgabe | | Betrachte den Kegel [mm] $K=\{(x,y,z)^T \in \mathbb{R}^3: x^2+y^2-z^2=0\}$ [/mm] und eine affine Isometrie [mm] $\phi: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3, \phi(x,y)^T [/mm] = [mm] A(x,y)^T+b,$ [/mm] wobei [mm] $A\in M_{3\times 2} (\mathbb{R}),$ $A^{*}A [/mm] = [mm] I_2,$ [/mm] und [mm] $b\in \mathbb{R}^3.$ [/mm] Zeige, dass [mm] $\phi^{-1}(K)$ [/mm] eine Quadrik ist. Welche Quadriken in [mm] $\mathbb{R}^2$ [/mm] lassen sich in dieser Form darstellen, für eine geeignete Isometrie [mm] $\phi$? [/mm] |
Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich zeigen soll, dass die Umkehrabbildung eine Quadrik ist? Ich weiß was eine Quadrik ist aber in diesem Fall leuchtet mir nicht ein, wie ich das zeigen können soll!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:17 Di 11.12.2012 | | Autor: | hippias |
SChreibe mal, wie ihr Quadrik definiert habt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:18 Di 11.12.2012 | | Autor: | clemenum |
Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum
über einem Körper $K$ mit Charakteristik, $char(K) = 2.$ Unter einer quadratischen Funktion auf $V$ verstehen wir jede Funktion, $Q: V [mm] \to \mathbb{K},$ [/mm] die sich in der Form $Q(v) = q(v) + l(v) + c$
schreiben lasst, wobei $c [mm] \in \mathbb{K}, [/mm] l [mm] \in V^{*}$
[/mm]
und $q$ eine quadratische Form auf $V$ bezeichnet, d.h. $q(v) = b(v, v)$ fur eine (eindeutige) symmetrische Bilinearform $b$ auf $V$.
Danke für deine Hilfe! 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:28 Mi 12.12.2012 | | Autor: | hippias |
Und was ist jetzt eine Quadrik?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:09 Mi 12.12.2012 | | Autor: | clemenum |
Ohh, verzei bitte, war wohl wieder mal unkonzentriert...
Unter einer Quadrik verstehen wir eine Teilmenge $E$ von $C$, die sich in der Form [mm] $E=\{v\in V: Q(v)=0\}$ [/mm] schreiben lässt, wobei $Q$ eine quadratische Funktion auf $V$ beschreibt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:22 Mi 12.12.2012 | | Autor: | hippias |
Um also [mm] $\phi^{-1}(K)$ [/mm] als Quadrik zu erkennen, benoetigst Du eine quadratische Funktion, dessen Nullstellenmenge genau [mm] $\phi^{-1}(K)$ [/mm] ist. Dazu ueberlege Dir, dass $K$ selber eine Quadrik ist und bestimme die zugehoerige quadratische Funktion $Q$. Versuche dann [mm] $\phi^{-1}(K)$ [/mm] durch [mm] $\phi$ [/mm] und $Q$ auzudruecken - dies duerfte durch Komposition moeglich sein. Dadurch sollte die quadratische Funktion, die [mm] $\phi^{-1}(K)$ [/mm] zur Quadrik macht erkennbar sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Fr 14.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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