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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:07 Mo 11.07.2011 | | Autor: | Nadia.. |
| Aufgabe | Hallo zusammen
Man beweise, dass es genau eine affine Abbildung f : A2(R) → A2(R) gibt, die die Punkte
der x-Achse (d. h. die Punkte (x, 0)T mit x ∈ R) um den Vektor (1, 0)T verschiebt und
den Punkt (0, 1) nach (0,−1) abbildet. Man bestimme die Menge der Fixpunkte von f. |
Bin mir ganz unsicher bei meiner Vorgehensweise.
Beweis :
Sei [mm] $p_0,p_1 \in A_2(R)$, [/mm] affine Basis von [mm] $A_2(R)$,
[/mm]
man kann ja [mm] $p_0 [/mm] = (x,0)$ und [mm] $p_1=(0,1)$ [/mm] wählen.
Nach einem Satz, gibt es dann genau eine affine Abbildung [mm] $f(p_i)=q_i, [/mm] i =1,2$.
Nun zu der Matrix von $f
[mm] A\begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} x+1 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow A\begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix} =\Rightarrow \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] A\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} \Rightarrow A\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} =\Rightarrow \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] A= [mm] \begin{pmatrix} 1&-1 \\ 0 &-1 \end{pmatrix}
[/mm]
$
Für Fixpunkte erhalte ich $A(x)+b=x [mm] \iff [/mm] (A-E)(x)=-b [mm] \Rightarrow \begin{pmatrix} 0&-1 \\ 0 &-2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ [/mm] das entspricht [mm] $\phi$
[/mm]
Ich bekomme dann am ende keine Fixpunkte raus, was habe ich falsch gemacht ?
Leibe Grüße
Nadia..
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> Hallo zusammen
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> Man beweise, dass es genau eine affine Abbildung f : A2(R)
> → A2(R) gibt, die die Punkte
> der x-Achse (d. h. die Punkte (x, 0)T mit x ∈ R) um den
> Vektor (1, 0)T verschiebt und
> den Punkt (0, 1) nach (0,−1) abbildet. Man bestimme die
> Menge der Fixpunkte von f.
> Bin mir ganz unsicher bei meiner Vorgehensweise.
>
> Beweis :
>
> Sei [mm]p_1,p_2 \in A_2(R)[/mm], affine Basis von [mm]A_2(R)[/mm],
Hallo,
affine Basen von zweidimensionalen affinen Räumen bestehen aus drei Vektoren.
Du kannst den Vektor [mm] p_0=(0,0) [/mm] hinzufügen.
> man kann ja [mm]p_1 = (x,0)[/mm] und [mm]p_2=(0,1)[/mm] wählen.
Du brauchst schon ein konkretes [mm] p_1. [/mm] Nimm [mm] p_1=(1,0).
[/mm]
> Nach einem Satz, gibt es dann genau eine affine Abbildung
> [mm]f(p_i)=q_i, i =1,2[/mm].
Ich kenne mich mit diesen affinen Sachen nicht sooooo gut aus, aber stand da nicht "i=0,1,2"?
>
> Nun zu der Matrix von $f
> [mm]A\begin{pmatrix} x \\
0 \end{pmatrix}[/mm] + [mm]\begin{pmatrix} 1 \\
0 \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} x+1 \\
0 \end{pmatrix} \Rightarrow A\begin{pmatrix} x \\
0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x \\
0 \end{pmatrix} =\Rightarrow \begin{pmatrix} 1 \\
0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]A\begin{pmatrix} 0 \\
1 \end{pmatrix}[/mm] + [mm]\begin{pmatrix} 1 \\
0 \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} 0 \\
-1 \end{pmatrix} \Rightarrow A\begin{pmatrix} 0 \\
1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -1 \\
-1 \end{pmatrix} =\Rightarrow \begin{pmatrix} -1 \\
-1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] A= [mm]\begin{pmatrix} 1&-1 \\
0 &-1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> $
So sieht meine Matrix auch aus.
Dein Rechenweg ist mir allerdings etwas verdächtig.
Woher nimmst Du die Sicherheit, daß b wirklich der Vektor (1, 0 ) ist?
(Wenn Du mit der richtigen Basis rechnest, wird sich alles geschmeidig ergeben.)
>
> Für Fixpunkte erhalte ich [mm]A(x)+b=x \iff (A-E)(x)=-b \Rightarrow \begin{pmatrix} 0&-1 \\
0 &-2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -1 \\
0 \end{pmatrix}[/mm]
> das entspricht [mm]\phi[/mm]
> Ich bekomme dann am ende keine Fixpunkte raus, was habe
> ich falsch gemacht ?
Bei mir gibt's auch keine Fixpunkte.
Daß es eine Fixgerade gibt, könnte man zeigen - ist aber anscheinend nicht gefragt.
Gruß v. Angela
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> Leibe Grüße
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> Nadia..
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