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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:10 Sa 17.04.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ich habe eine Frage zu ![[]](/images/popup.gif) Theorem (Konstruktion von äußeren Maßen)(Seite 7 ).
Ich verstehe nicht im dort stehenden Beweis , warum nach dem Wort "Ferner" die erste Ungleichung gilt. Wie kann man diese Ungleichung umformen, dass man es besser sehen kann, dass diese gilt?
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:25 Sa 17.04.2010 | | Autor: | dormant |
Hallo!
Zunächst mal klar machen - da ist ein Tippfehelr - es soll [mm] \mu^{\*} [/mm] heißen in der Ungleichung. Was der macht ist die Definition von [mm] \mu^{\*} [/mm] verwenden und aus der Menge, über die das Infimum gebildet werden soll eine beliebige rauspicken (eben diese aus der Implikationsvoraussetzung). Daher kommet er erst auf:
[mm] \mu^{\*}\left(\bigcup_{j=1}^{\infty}A_j\right)\le\summe_{j=1}^{\infty}\rho\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}E_j^k\right) [/mm] (Definition von [mm] \mu^{\*} [/mm] genau anschauen!).
Auf das endgültige Ergebnis der Ungleichung kommt er über die [mm] \sigma [/mm] -Subadditivität von [mm] \rho.
[/mm]
Grüße,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Sa 17.04.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
eine Zwischenfrage: woher weiß man , dass [mm] \rho [/mm] - [mm] \sigma-additiv [/mm] ist? Es steht dort nicht , dass diese Funktion eine Mengenfunktion ist.
Gruss
Igor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:47 Sa 17.04.2010 | | Autor: | dormant |
Hi!
Guter Einwand! Auf die schnelle fällt mir nichts ein wie man diesen Zwischen-Zwischenschritt begründen kann. So wie er das macht hat zunächst nur
[mm] \mu^{\*}\left(\bigcup_{j}A_j\right)\le\summe_{j}\rho\left(\bigcup_{k}E_j^k\right). [/mm] Aber ich würd mir den Kopf darüber um die Uhrzeit nicht zerbrechen. Schau's dir morgen vielleicht noch mal an und dann wirst du es sehen. Ich werd's auf jeden Fall so machen.
Grüße,
dormant
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:51 So 18.04.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
[mm] $\sigma$-Subadditivität [/mm] braucht man nicht.
[mm] $\bigcup_{j=1}^\infty A_j\ \subseteq\ \bigcup_{j=1}^\infty\bigcup_{k=1}^\infty E^k_j [/mm] =: [mm] \bigcup_{z=1}^\infty E_z$
[/mm]
wobei gilt [mm] $\forall k,j\in\IN\ \exists\ z\in\IN:\ E^k_j=E_z$ [/mm] und umgekehrt. Eine abzählbare Vereinigung abzählbarer Vereinigungen (d.h. die der [mm] $E_j^k$) [/mm] ist abzählbar, und dementsprechend gibt's die Folge [mm] $E_z$ [/mm] (Konstruktion z.B. mit Cantor's Diagonalargument).
d.h.
[mm] $\mu^{\*} \left(\bigcup_{j=1}^\infty A_j\right)\leq \sum_{z=1}^\infty \rho(E_z) =\sum_{j=1}^\infty\sum_{k=1}^\infty\rho(E_j^k)$
[/mm]
die Ungleichheit gilt nach Konstruktion von [mm] $\mu^{\*} [/mm] $, die Gleichheit nach Konstruktion der [mm] $E_z$.
[/mm]
ciao
Stefan
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