Äquvalenzrelation < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 Do 21.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
| Aufgabe | Es seien M eine Menge, I eine Indezmenge und [mm] (M_i)_i_\in_I [/mm] eine Familie von nichtleeren Teilmengen von M, so dass
M = [mm] \bigcup_{i\in I} M_i [/mm] .
Auf M führen wir folgende Relation ein:
[mm] \forall [/mm] m,m′ [mm] \in [/mm] M : (m ∼ m′ [mm] :\gdw \exists [/mm] i [mm] \in [/mm] I : m [mm] \in M_i [/mm] ∧ m′ [mm] \in M_i) [/mm] .
a) Zeigen Sie, dass ”∼“ eine Äquivalenzrelation auf M ist.
b) Weisen Sie nach, dass die Äquivalenzklassen von ”∼“ gerade die Teilmengen [mm] M_i, [/mm] i [mm] \in [/mm] I, sind. |
Ich bin für Jeden Denkanstoß/ jede Hilfe dankbar.
Ich soll zeigen, dass a) reflexiv, symmetrisch und transitiv ist, weiß aber nicht, wie man da anfangen muss.
Bei b) habe ich gar keine Ahnung, was ich machen soll.... :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:04 Do 21.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Es seien M eine Menge, I eine Indezmenge und [mm](M_i)_i_\in_I[/mm]
> eine Familie von nichtleeren Teilmengen von M, so dass
> M = [mm]\bigcup_{i\in I} M_i[/mm] .
>
>
> Auf M führen wir folgende Relation ein:
> [mm]\forall[/mm] m,m′ [mm]\in[/mm] M : (m ∼ m′ [mm]:\gdw \exists[/mm] i [mm]\in[/mm] I :
> m [mm]\in M_i[/mm] ∧ m′ [mm]\in M_i)[/mm] .
>
> a) Zeigen Sie, dass ”∼“ eine Äquivalenzrelation auf
> M ist.
>
> b) Weisen Sie nach, dass die Äquivalenzklassen von
> ”∼“ gerade die Teilmengen [mm]M_i,[/mm] i [mm]\in[/mm] I, sind.
> Ich bin für Jeden Denkanstoß/ jede Hilfe dankbar.
>
> Ich soll zeigen, dass a) reflexiv, symmetrisch und
> transitiv ist, weiß aber nicht, wie man da anfangen muss.
Dann fangen wir mal mit "reflexiv " an:
Ist $m [mm] \in [/mm] M$, gilt dann $m [mm] \sim [/mm] m$ ?
Symmetrisch: folgt aus $m [mm] \sim [/mm] m'$ stets auch $m' [mm] \sim [/mm] m$ ?
Transitiv: folgt aus $m [mm] \sim [/mm] m'$ und $m' [mm] \sim [/mm] m''$ stets auch $m [mm] \sim [/mm] m''$ ?
Wenn Du all 3 Fragen mit "ja" beantworten kannst, hast Du bei a) gewonnen.
>
> Bei b) habe ich gar keine Ahnung, was ich machen soll....
> :(
Ist $m [mm] \in [/mm] M$, so bez. ich die zu m geh. Äquivalenzklasse mit [mm] $\text{[}m\text{]}$,
[/mm]
Also: [mm] $\text{[}m\text{]}= \{m' \in M: m \sim m' \}$
[/mm]
Zeigen sollst Du:
[mm] $\{\text{[}m\text{]}: m \in M \}= \{M_i: i \in I \}$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Fr 22.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
> > Es seien M eine Menge, I eine Indezmenge und [mm](M_i)_i_\in_I[/mm]
> > eine Familie von nichtleeren Teilmengen von M, so dass
> > M = [mm]\bigcup_{i\in I} M_i[/mm] .
> >
> >
> > Auf M führen wir folgende Relation ein:
> > [mm]\forall[/mm] m,m′ [mm]\in[/mm] M : (m ∼ m′ [mm]:\gdw \exists[/mm] i [mm]\in[/mm]
> I :
> > m [mm]\in M_i[/mm] ∧ m′ [mm]\in M_i)[/mm] .
> >
> > a) Zeigen Sie, dass ”∼“ eine Äquivalenzrelation auf
> > M ist.
> >
> > b) Weisen Sie nach, dass die Äquivalenzklassen von
> > ”∼“ gerade die Teilmengen [mm]M_i,[/mm] i [mm]\in[/mm] I, sind.
> > Ich bin für Jeden Denkanstoß/ jede Hilfe dankbar.
> >
> > Ich soll zeigen, dass a) reflexiv, symmetrisch und
> > transitiv ist, weiß aber nicht, wie man da anfangen muss.
>
>
> Dann fangen wir mal mit "reflexiv " an:
>
> Ist m [mm]\in[/mm] M, gilt dann m [mm]\sim[/mm] m ?
>
> Symmetrisch: folgt aus m [mm]\sim[/mm] m' stets auch m' [mm]\sim[/mm] m ?
>
> Transitiv: folgt aus m [mm]\sim[/mm] m' und m' [mm]\sim[/mm] m'' stets auch m
> [mm]\sim[/mm] m'' ?
>
> Wenn Du all 3 Fragen mit "ja" beantworten kannst, hast Du
> bei a) gewonnen.
Die Definition von Wikipedia sagt ja das:
Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge M ist eine Teilmenge R [mm] \subseteq [/mm] M x M, welche folgende Bedingungen erfüllt:
Reflexivität
Für alle [mm] a\in [/mm] M ist [mm] (a,a)\in [/mm] R.
Symmetrie
Für alle [mm] a,b\in [/mm] M, für die [mm] (a,b)\in [/mm] R gilt, ist auch (b,a) [mm] \in [/mm] R.
Transitivität
Für alle a,b,c [mm] \in [/mm] M mit (a,b) [mm] \in [/mm] R und (b,c) [mm] \in [/mm] R gilt, dass auch (a,c) [mm] \in [/mm] R.
Also Reflexivität liegt offensichtlich vor. Reicht es dann einfach hinzuschreiben, dass m [mm] \sim [/mm] m?
Symmetrie liegt auch vor, würde ich sagen. also m [mm] \sim [/mm] m´ -> m´ [mm] \sim [/mm] m.
Transitivität liegt nach Aufgabenstellung ja auch vor aber wie zeige ich das?
Da brauche ich ja 3 Elemente, also m, m´ und m´´. Muss ich bei Äquivalenzrelationen auf die Definition achten? Ich habe mir andere Aufgaben angesehen, die ich recht gut nachvollziehen konnte... Hier aber ist es gar nicht so leicht...
> > Bei b) habe ich gar keine Ahnung, was ich machen soll....
> > :(
>
>
> Ist m [mm]\in[/mm] M, so bez. ich die zu m geh. Äquivalenzklasse mit [mm] $\text{[}m\text{]}$,
[/mm]
>
> Also: [mm] $\text{[}m\text{]} [/mm] = [mm] \{m' \in M: m \sim m' \}.$
[/mm]
>
> Zeigen sollst Du:
>
> [mm] $\{\text{[}m\text{]} : m \in M\} [/mm] = [mm] \{M_i: i \in I \}$
[/mm]
Könntest du Aufgabenteil b bitte nochmal korrigieren? Da hast du wohl irgendwas falsch gemacht.
>
> FRED
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Hallo,
> > > Es seien M eine Menge, I eine Indezmenge und [mm](M_i)_i_\in_I[/mm]
> > > eine Familie von nichtleeren Teilmengen von M, so dass
> > > M = [mm]\bigcup_{i\in I} M_i[/mm] .
> > >
> > >
> > > Auf M führen wir folgende Relation ein:
> > > [mm]\forall[/mm] m,m′ [mm]\in[/mm] M : (m ∼ m′ [mm]:\gdw \exists[/mm] i [mm]\in[/mm] I :m [mm]\in M_i[/mm] ∧ m′ [mm]\in M_i)[/mm] .
> > >
> > > a) Zeigen Sie, dass ”∼“ eine Äquivalenzrelation auf
> > > M ist.
> > >
> > > b) Weisen Sie nach, dass die Äquivalenzklassen von
> > > ”∼“ gerade die Teilmengen [mm]M_i,[/mm] i [mm]\in[/mm] I, sind.
> > > Ich bin für Jeden Denkanstoß/ jede Hilfe dankbar.
> > >
> > > Ich soll zeigen, dass a) reflexiv, symmetrisch und
> > > transitiv ist, weiß aber nicht, wie man da anfangen muss.
> >
> >
> > Dann fangen wir mal mit "reflexiv " an:
> >
> > Ist m [mm]\in[/mm] M, gilt dann m [mm]\sim[/mm] m ?
> >
> > Symmetrisch: folgt aus m [mm]\sim[/mm] m' stets auch m' [mm]\sim[/mm] m ?
> >
> > Transitiv: folgt aus m [mm]\sim[/mm] m' und m' [mm]\sim[/mm] m'' stets auch m
> > [mm]\sim[/mm] m'' ?
> >
> > Wenn Du all 3 Fragen mit "ja" beantworten kannst, hast Du
> > bei a) gewonnen.
>
> Die Definition von Wikipedia sagt ja das:
>
> Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge M ist eine
> Teilmenge R [mm]\subseteq[/mm] M x M, welche folgende Bedingungen
> erfüllt:
>
> Reflexivität
> Für alle [mm]a\in[/mm] M ist [mm](a,a)\in[/mm] R.
> Symmetrie
> Für alle [mm]a,b\in[/mm] M, für die [mm](a,b)\in[/mm] R gilt, ist auch
> (b,a) [mm]\in[/mm] R.
> Transitivität
> Für alle a,b,c [mm]\in[/mm] M mit (a,b) [mm]\in[/mm] R und (b,c) [mm]\in[/mm] R
> gilt, dass auch (a,c) [mm]\in[/mm] R.
>
>
> Also Reflexivität liegt offensichtlich vor. Reicht es dann
> einfach hinzuschreiben, dass m [mm]\sim[/mm] m?
"Offensichtlich" ist ein gefährlicher Begriff ...
Schreibe es ruhig formal hin.
Ist [mm]m\in M[/mm], so ex. ein [mm]i\in I[/mm], so dass [mm]m\in M_i[/mm]
Damit [mm]m\in M_i \ \wedge m\in M_i[/mm], also [mm]m\sim m[/mm]
>
> Symmetrie liegt auch vor, würde ich sagen. also m [mm]\sim[/mm] m´
> -> m´ [mm]\sim[/mm] m.
Ja, schreibe zumindest, woran das liegt. Eine kleine Begründung zumindest ...
>
> Transitivität liegt nach Aufgabenstellung ja auch vor aber
> wie zeige ich das?
>
> Da brauche ich ja 3 Elemente, also m, m´ und m´´. Muss
> ich bei Äquivalenzrelationen auf die Definition achten?
Klar musst du das
> Ich habe mir andere Aufgaben angesehen, die ich recht gut
> nachvollziehen konnte... Hier aber ist es gar nicht so
> leicht...
Was sagt denn die Definition?
Mit [mm]m\sim m'[/mm] ex. [mm]i\in I[/mm] mit [mm]m\in M_i[/mm] und [mm]m'\in M_i[/mm]
Mit [mm]m'\sim m''[/mm] ex. [mm]j\in I[/mm] mit [mm]m'\in M_j[/mm] und [mm]m''\in M_j[/mm]
Dann sollte gefälligst für Transitivität ein [mm]k\in I[/mm] existieren mit [mm]m\in M_k[/mm] und [mm]m''\in M_k[/mm] (was [mm]m\sim m''[/mm] bedeutet)
Wie sieht k aus?
Den Rest möge FRED editieren (oder auch nicht  )
Gruß
scahchuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 Sa 23.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
> Hallo,
>
>
> > > > Es seien M eine Menge, I eine Indezmenge und [mm](M_i)_i_\in_I[/mm]
> > > > eine Familie von nichtleeren Teilmengen von M, so
> dass
> > > > M = [mm]\bigcup_{i\in I} M_i[/mm] .
> > > >
> > > >
> > > > Auf M führen wir folgende Relation ein:
> > > > [mm]\forall[/mm] m,m′ [mm]\in[/mm] M : (m ∼ m′ [mm]:\gdw \exists[/mm] i
> [mm]\in[/mm] I :m [mm]\in M_i[/mm] ∧ m′ [mm]\in M_i)[/mm] .
> > > >
> > > > a) Zeigen Sie, dass ”∼“ eine
> Äquivalenzrelation auf
> > > > M ist.
> > > >
> > > > b) Weisen Sie nach, dass die Äquivalenzklassen von
> > > > ”∼“ gerade die Teilmengen [mm]M_i,[/mm] i [mm]\in[/mm] I, sind.
> > > > Ich bin für Jeden Denkanstoß/ jede Hilfe dankbar.
> > > >
> > > > Ich soll zeigen, dass a) reflexiv, symmetrisch und
> > > > transitiv ist, weiß aber nicht, wie man da anfangen
> muss.
> > >
> > >
> > > Dann fangen wir mal mit "reflexiv " an:
> > >
> > > Ist m [mm]\in[/mm] M, gilt dann m [mm]\sim[/mm] m ?
> > >
> > > Symmetrisch: folgt aus m [mm]\sim[/mm] m' stets auch m' [mm]\sim[/mm] m
> ?
> > >
> > > Transitiv: folgt aus m [mm]\sim[/mm] m' und m' [mm]\sim[/mm] m'' stets
> auch m
> > > [mm]\sim[/mm] m'' ?
> > >
> > > Wenn Du all 3 Fragen mit "ja" beantworten kannst, hast
> Du
> > > bei a) gewonnen.
> >
> > Die Definition von Wikipedia sagt ja das:
> >
> > Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge M ist eine
> > Teilmenge R [mm]\subseteq[/mm] M x M, welche folgende
> Bedingungen
> > erfüllt:
> >
> > Reflexivität
> > Für alle [mm]a\in[/mm] M ist [mm](a,a)\in[/mm] R.
> > Symmetrie
> > Für alle [mm]a,b\in[/mm] M, für die [mm](a,b)\in[/mm] R gilt, ist auch
> > (b,a) [mm]\in[/mm] R.
> > Transitivität
> > Für alle a,b,c [mm]\in[/mm] M mit (a,b) [mm]\in[/mm] R und (b,c) [mm]\in[/mm] R
> > gilt, dass auch (a,c) [mm]\in[/mm] R.
> >
> >
> > Also Reflexivität liegt offensichtlich vor. Reicht es
> dann
> > einfach hinzuschreiben, dass m [mm]\sim[/mm] m?
>
> "Offensichtlich" ist ein gefährlicher Begriff ...
>
> Schreibe es ruhig formal hin.
>
> Ist [mm]m\in M[/mm], so ex. ein [mm]i\in I[/mm], so dass [mm]m\in M_i[/mm]
>
> Damit [mm]m\in M_i \ \wedge m\in M_i[/mm], also [mm]m\sim m[/mm]
>
> >
> > Symmetrie liegt auch vor, würde ich sagen. also m [mm]\sim[/mm]
> m´
> > -> m´ [mm]\sim[/mm] m.
>
> Ja, schreibe zumindest, woran das liegt. Eine kleine
> Begründung zumindest ...
Mit [mm] m\sim [/mm] m´ ex. i [mm] \in [/mm] I, so dass m [mm] \in M_i \wedge [/mm] m´ [mm] \in M_i [/mm] und mit [mm] m´\sim [/mm] m ex i [mm] \in [/mm] I, so dass m´ [mm] \in M_i \wedge [/mm] m [mm] \in M_i. [/mm] Ist das eine ausreichende Begründung?
> > Transitivität liegt nach Aufgabenstellung ja auch vor
> aber
> > wie zeige ich das?
> >
> > Da brauche ich ja 3 Elemente, also m, m´ und m´´.
> Muss
> > ich bei Äquivalenzrelationen auf die Definition
> achten?
>
> Klar musst du das
>
> > Ich habe mir andere Aufgaben angesehen, die ich recht gut
> > nachvollziehen konnte... Hier aber ist es gar nicht so
> > leicht...
>
> Was sagt denn die Definition?
>
> Mit [mm]m\sim m'[/mm] ex. [mm]i\in I[/mm] mit [mm]m\in M_i[/mm] und [mm]m'\in M_i[/mm]
>
> Mit [mm]m'\sim m''[/mm] ex. [mm]j\in I[/mm] mit [mm]m'\in M_j[/mm] und [mm]m''\in M_j[/mm]
>
> Dann sollte gefälligst für Transitivität ein [mm]k\in I[/mm]
> existieren mit [mm]m\in M_k[/mm] und [mm]m''\in M_k[/mm] (was [mm]m\sim m''[/mm]
> bedeutet)
>
> Wie sieht k aus?
Meinst du mit "wie sieht k aus?" das? :
Mit m [mm] \sim [/mm] m'' ex. k [mm] \in [/mm] I mit m [mm] \in M_k \wedge [/mm] m'' [mm] \in M_k
[/mm]
> Den Rest möge FRED editieren (oder auch nicht )
>
> Gruß
>
> scahchuzipus
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> > > > > Es seien M eine Menge, I eine Indezmenge und [mm](M_i)_i_\in_I[/mm]
> > > > > eine Familie von nichtleeren Teilmengen von M, so
> > dass
> > > > > M = [mm]\bigcup_{i\in I} M_i[/mm] .
> > > > >
> > > > >
> > > > > Auf M führen wir folgende Relation ein:
> > > > > [mm]\forall[/mm] m,m′ [mm]\in[/mm] M : (m ∼ m′ [mm]:\gdw \exists[/mm]
> i
> > [mm]\in[/mm] I :m [mm]\in M_i[/mm] ∧ m′ [mm]\in M_i)[/mm] .
> > > > >
> > > > > a) Zeigen Sie, dass ”∼“ eine
> > Äquivalenzrelation auf
> > > > > M ist.
> > > Also Reflexivität liegt offensichtlich vor.
> > Ist [mm]m\in M[/mm], so ex. ein [mm]i\in I[/mm], so dass [mm]m\in M_i[/mm]
> >
> > Damit [mm]m\in M_i \ \wedge m\in M_i[/mm], also [mm]m\sim m[/mm]
> >
> > >
> > > Symmetrie liegt auch vor, würde ich sagen. also m
> [mm]\sim[/mm]
> > m´
> > > -> m´ [mm]\sim[/mm] m.
>
> Mit [mm]m\sim[/mm] m´ ex. i [mm]\in[/mm] I, so dass m [mm]\in M_i \wedge[/mm] m´ [mm]\in M_i[/mm],
also
> m´ [mm]\in M_i \wedge[/mm] m
> [mm]\in M_i.[/mm]
==> [mm] m'\sim [/mm] m.
> > > Transitivität liegt nach Aufgabenstellung ja auch vor
> > aber
> > > wie zeige ich das?
s. Meine Antwort von vor ein paar Minuten.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 Fr 22.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Ich habe obige Antwort nun editiert. Ich hoffe, auch im (inhaltlichen) Sinne von Fred.
Irgendwie hatte sich Latex an dem $m_$ in eckigen Klammern verschluckt.
Gruß
Loddar
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> Es seien M eine Menge, I eine Indezmenge und [mm](M_i)_i_\in_I[/mm]
> eine Familie von nichtleeren Teilmengen von M, so dass
> M = [mm]\bigcup_{i\in I} M_i[/mm] .
>
>
> Auf M führen wir folgende Relation ein:
> [mm]\forall[/mm] m,m′ [mm]\in[/mm] M : (m ∼ m′ [mm]:\gdw \exists[/mm] i [mm]\in[/mm] I :
> m [mm]\in M_i[/mm] ∧ m′ [mm]\in M_i)[/mm] .
>
> a) Zeigen Sie, dass ”∼“ eine Äquivalenzrelation auf
> M ist.
Hallo,
das wird Dir nicht gelingen, denn die Relation ist nicht transitiv.
Beispiel:
[mm] M:=\{1,2,3\}
[/mm]
[mm] M_1:=\{1,2\}
[/mm]
[mm] M_2:=\{2,3\}.
[/mm]
Es ist [mm] 1\sim [/mm] 2 und [mm] 2\sim [/mm] 3, aber es ist [mm] 1\not\sim [/mm] 3.
Und weil es keine Äquivalenzrelation ist, kannst Du Aufgabe b) auch gleich bleiben lassen und lieber zum Frühstücksbier in die nächste Kneipe gehen ---
--- es sei denn, Du hast "Details" der Aufgabenstellung, deren Tragweite Du nicht erkannt hast, unterschlagen...
LG Angela
> b) Weisen Sie nach, dass die Äquivalenzklassen von
> ”∼“ gerade die Teilmengen [mm]M_i,[/mm] i [mm]\in[/mm] I, sind.
> Ich bin für Jeden Denkanstoß/ jede Hilfe dankbar.
>
> Ich soll zeigen, dass a) reflexiv, symmetrisch und
> transitiv ist, weiß aber nicht, wie man da anfangen muss.
>
> Bei b) habe ich gar keine Ahnung, was ich machen soll....
> :(
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 So 24.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Hallo Angela,
nein, die Aufgabe steht exakt hier im Forum wie auf meinem Aufgabenzettel.
Dann suche ich mal 3 andere Mengen für ein Gegenbeispiel und schließe damit ab.
Aber vllt wäre jemand noch so nett und würde mir sagen, was genau Äquivalenzklassen sind.
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> Hallo Angela,
>
> nein, die Aufgabe steht exakt hier im Forum wie auf meinem
> Aufgabenzettel.
Hallo,
dann haben Deine Chefs etwas vergessen hinzuschreiben, was sie eigentlich schreiben wollten, daß nämlich [mm] M_i\cap M_j\=\emptyset [/mm] für alle [mm] i\not=j.
[/mm]
>
>
> Dann suche ich mal 3 andere Mengen für ein Gegenbeispiel
> und schließe damit ab.
>
> Aber vllt wäre jemand noch so nett und würde mir sagen,
> was genau Äquivalenzklassen sind.
Ja.
Wenn [mm] \sim [/mm] eine Äquivalenzrelation auf der Menge M ist, dann ist die zu m gehörige Äquivalenzklasse [m] definiert durch
[ m [mm] ]:=\{m'\in M| m\sim m'\}.
[/mm]
Die zu m gehörige Äquivalenzklasse enthält also alle Elemente, die zu m äquivalent sind.
Und Du solltest eigentlich zeigen, daß [mm] \{[ m ]|m\in M\}=\{M_i| i\in I\}.
[/mm]
Aber das funktioniert hier nicht.
Funktionieren würde es jedoch für
[mm] M:=\{1,2,3,4,5,6\},
[/mm]
[mm] M_1:=\{6\}
[/mm]
[mm] M_2:=\{5,4\}
[/mm]
[mm] M_3:=\{3,2,1\},
[/mm]
denn hier würde man mit der Def. für [mm] \sim [/mm] wie in Deiner Aufgabe eine Äquivalenzrelation haben.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:53 Do 28.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
> > Es seien M eine Menge, I eine Indezmenge und [mm](M_i)_i_\in_I[/mm]
> > eine Familie von nichtleeren Teilmengen von M, so dass
> > M = [mm]\bigcup_{i\in I} M_i[/mm] .
> >
> >
> > Auf M führen wir folgende Relation ein:
> > [mm]\forall[/mm] m,m′ [mm]\in[/mm] M : (m ∼ m′ [mm]:\gdw \exists[/mm] i [mm]\in[/mm] I
> :
> > m [mm]\in M_i[/mm] ∧ m′ [mm]\in M_i)[/mm] .
> >
> > a) Zeigen Sie, dass ”∼“ eine Äquivalenzrelation
> auf
> > M ist.
>
> Hallo,
>
> das wird Dir nicht gelingen, denn die Relation ist nicht
> transitiv.
>
> Beispiel:
>
> [mm]M:=\{1,2,3\}[/mm]
> [mm]M_1:=\{1,2\}[/mm]
> [mm]M_2:=\{2,3\}.[/mm]
>
>
> Es ist [mm]1\sim[/mm] 2 und [mm]2\sim[/mm] 3, aber es ist [mm]1\not\sim[/mm] 3.
>
> Und weil es keine Äquivalenzrelation ist, kannst Du
> Aufgabe b) auch gleich bleiben lassen und lieber zum
> Frühstücksbier in die nächste Kneipe gehen ---
Falls das hier nochmal irgendjemand lesen sollte oder darauf stößt, wenn er die gleiche Aufgabe hat: Es geht.
Meine Tutorin meinte bei der Kontrollierung von Angela´s "wird nicht klappen" folgendes:
Mit den Mengen M: [mm] \{1,2,3\}, M_1: \{1,2\} [/mm] und [mm] M_2: \{2,3\}:
[/mm]
Menge [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] sind keine disjunkten Mengen, d.h. [mm] M_1 \cap M_2 [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] ist nicht erfüllt.
>
> --- es sei denn, Du hast "Details" der Aufgabenstellung,
> deren Tragweite Du nicht erkannt hast, unterschlagen...
>
> LG Angela
>
>
> > b) Weisen Sie nach, dass die Äquivalenzklassen von
> > ”∼“ gerade die Teilmengen [mm]M_i,[/mm] i [mm]\in[/mm] I, sind.
> > Ich bin für Jeden Denkanstoß/ jede Hilfe dankbar.
> >
> > Ich soll zeigen, dass a) reflexiv, symmetrisch und
> > transitiv ist, weiß aber nicht, wie man da anfangen
> muss.
> >
> > Bei b) habe ich gar keine Ahnung, was ich machen
> soll....
> > :(
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> > > Es seien M eine Menge, I eine Indezmenge und [mm](M_i)_i_\in_I[/mm]
> > > eine Familie von nichtleeren Teilmengen von M, so
> dass
> > > M = [mm]\bigcup_{i\in I} M_i[/mm] .
> > >
> > >
> > > Auf M führen wir folgende Relation ein:
> > > [mm]\forall[/mm] m,m′ [mm]\in[/mm] M : (m ∼ m′ [mm]:\gdw \exists[/mm] i
> [mm]\in[/mm] I
> > :
> > > m [mm]\in M_i[/mm] ∧ m′ [mm]\in M_i)[/mm] .
> > >
> > > a) Zeigen Sie, dass ”∼“ eine
> Äquivalenzrelation
> > auf
> > > M ist.
> >
> > Hallo,
> >
> > das wird Dir nicht gelingen, denn die Relation ist nicht
> > transitiv.
> >
> > Beispiel:
> >
> > [mm]M:=\{1,2,3\}[/mm]
> > [mm]M_1:=\{1,2\}[/mm]
> > [mm]M_2:=\{2,3\}.[/mm]
> >
> >
> > Es ist [mm]1\sim[/mm] 2 und [mm]2\sim[/mm] 3, aber es ist [mm]1\not\sim[/mm] 3.
> >
> > Und weil es keine Äquivalenzrelation ist, kannst Du
> > Aufgabe b) auch gleich bleiben lassen und lieber zum
> > Frühstücksbier in die nächste Kneipe gehen ---
>
>
> Falls das hier nochmal irgendjemand lesen sollte oder
> darauf stößt, wenn er die gleiche Aufgabe hat: Es geht.
>
> Meine Tutorin meinte bei der Kontrollierung von Angela´s
> "wird nicht klappen" folgendes:
>
> Mit den Mengen M: [mm]\{1,2,3\}, M_1: \{1,2\}[/mm] und [mm]M_2: \{2,3\}:[/mm]
>
> Menge [mm]M_1[/mm] und [mm]M_2[/mm] sind keine disjunkten Mengen, d.h. [mm]M_1 \cap M_2[/mm]
> = [mm]\emptyset[/mm] ist nicht erfüllt.
>
Hallo,
tja, bloß dieses neckische Detail, daß die [mm] M_i, M_j [/mm] paarweise disjunkt sein sollen, hast Du (oder die Chefs) in der Aufgabenstellung unterschlagen - wie bereits vermutet.
Mit dieser Bedingung hat man eine Partition von M, welche dann in natürlicher Weise eine Äquivalenzrelation induziert.
LG Angela
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> >
> > --- es sei denn, Du hast "Details" der Aufgabenstellung,
> > deren Tragweite Du nicht erkannt hast,
unterschlagen...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:11 Do 28.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Ach naja, ich wollte es bloß nochmal erwähnt haben.
Wie gesagt, mir lag dieses Detail nicht vor, sonst hätte ich es hier mit reingeschrieben in die Aufgabenstellung. Naja was solls...
Der nächste, der diese Aufgabe mal braucht, weiß dann wenigstens, worauf er achten muss. 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:46 So 02.02.2014 | | Autor: | friggonaut |
> Wie gesagt, mir lag dieses Detail nicht vor, sonst hätte
> ich es hier mit reingeschrieben in die Aufgabenstellung.
Doch. Dir lag dieses Detail vor!
Wie kann ich mir da sicher sein?
Weil du die Aufgabenstellung von einem Übungszettel abgeschrieben hast, der mir auch vorliegt. Dabei hast du sogar den Rechtschreibfehler übernommen: natürlich heißt es "Indexmenge" und nicht "Indezmenge".
Was du aber nicht übernommen hast, ist das Symbol für die disjunkte Vereinigung. Stattdessen hast du dies hier verwendet: [mm] \bigcup_{i \in I}^{}M_{i}.
[/mm]
Damit ist aber nicht die disjunkte Vereinigung gemeint, sondern die "normale" Vereinigung. Guck mal auf den Übungszettel! Da ist das Vereinigungssymbol eckig und nicht rund.
Wie oder ob man das Symbol hier im Forum darstellen kann, weiß ich nicht. Disjunkte Vereinigung von Teilmengen [mm] A_{i} [/mm] einer vollständig in diese Teilmengen zerlegten Menge A bedeutet:
a) A = [mm] \bigcup_{i \in I}^{}A_{i}
[/mm]
b) [mm] A_{i} \cap A_{j} [/mm] = [mm] \emptyset
[/mm]
Und b) ist genau das Datail, was du unterschlagen hast. Ohne dies ist der Beweis nicht möglich.
Falls du an einer Musterlösung für die Aufgabe interessiert bist, dann schick mir hier im Board 'ne private Nachricht. Ich scanne dir meine Lösung ein.
Der Beweis ist trivial. Mein alter LinA-Prof hat uns das damals als Bemerkung verkauft und sich den Beweis gespart, weil es wirklich leicht einzusehen ist und der Beweis nur das Aufschreiben von Gegebenheiten beinhaltet, ohne, dass man eine Idee benötigt.
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