Äquivalzenzrelationen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei n [mm] \in [/mm] N. Berechne:
1. Die Anzahl der surjektiven Abbildungen von {1,....,n}nach {1,2,3}.
2. Die Anzahl der dreiklassigen Äquivalenzrelationen auf {1,....,7}. (Hinweis: Wieviele surjektive
Abbildungen gehören zu derselben Äquivalenzrelation?) |
Hallo,
also zum 1. teil hab ich schon das Ergebnis glaub ich. In der Übung wurde uns gesagt wir sollen erst betsimmen wie viele Abbildungen es insgesammt gibt das sind in dem Fall [mm] 3^n
[/mm]
Dann sollen wir alle nicht surjektiven Abbildungen abziehen, dass sind [mm] \vektor{3 \\ 2} *2^n=3*2^n
[/mm]
und dann die Abbildungen wieder hinzufügen, die eine 1-elementiges Bild haben das sind 3 also hab ich als Menge aller surjektiven Abbildungen {f: {1,...,n} [mm] \to [/mm] {1,2,3} / f surj.}= [mm] 3^n [/mm] - [mm] 3*2^n [/mm] +3
wobei ich nicht genau weiß warum ich die Abbildungen mit einer 1-elementigen Bildmenge wieder abziehen muss.
Zu zwei hab ich allerdings keine idee. Ich weiß schonmal gar nicht wie ich rasfinden soll welche surjektiven Abbildungen zu einer Äquivalenzrelation gehören, sollen, weil ich hab ja nur eine Menge .....bin irgendwie total verwirrt .
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:29 Di 08.11.2011 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Es sei n [mm]\in[/mm] N. Berechne:
> 1. Die Anzahl der surjektiven Abbildungen von
> {1,....,n}nach {1,2,3}.
> 2. Die Anzahl der dreiklassigen Äquivalenzrelationen auf
> {1,....,7}. (Hinweis: Wieviele surjektive
> Abbildungen gehören zu derselben Äquivalenzrelation?)
> also zum 1. teil hab ich schon das Ergebnis glaub ich. In
> der Übung wurde uns gesagt wir sollen erst betsimmen wie
> viele Abbildungen es insgesammt gibt das sind in dem Fall
> [mm]3^n[/mm]
> Dann sollen wir alle nicht surjektiven Abbildungen
> abziehen, dass sind [mm]\vektor{3 \\ 2} *2^n=3*2^n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> und dann
> die Abbildungen wieder hinzufügen, die eine 1-elementiges
> Bild haben das sind 3 also hab ich als Menge aller
> surjektiven Abbildungen {f: {1,...,n} [mm]\to[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{1,2,3} / f
> surj.}= [mm]3^n[/mm] - [mm]3*2^n[/mm] +3
> wobei ich nicht genau weiß warum ich die Abbildungen mit
> einer 1-elementigen Bildmenge wieder abziehen muss.
Die sprachliche Formulierung ist nicht wirklich korrekt. Wenn du von allen Abbildungen die nicht-surjektiven abziehst, bleiben natürlich die surjektiven übrig. Aber die Anzahl der nicht-surjektiven ist $3 [mm] \cdot 2^n [/mm] - 3$. weil nämlich die konstante Abbildung auf 1 z. B. einmal bei den Abbildungen auf {1, 2} und einmal bei denjenigen auf {1, 3} vorkommt.
> Zu zwei hab ich allerdings keine idee. Ich weiß schonmal
> gar nicht wie ich rasfinden soll welche surjektiven
> Abbildungen zu einer Äquivalenzrelation gehören, sollen,
> weil ich hab ja nur eine Menge .....bin irgendwie total
> verwirrt .
Tip: Für eine surj. Abb. f definierst du x [mm] \sim [/mm] y [mm] \gdw [/mm] f(x) = f(y). Die weitere Ausführung überlasse ich freundlicherweise  dir.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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