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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:26 Do 10.12.2009 | | Autor: | Allysia |
| Aufgabe 1 | Wir erklären auf der Menge [mm] \IR^2 [/mm] eine Relation durch
[mm](a,b) \sim (c,d) :\gdw \exists t \in \IR:c=ta \;und\; td=b[/mm] [mm] (t\ge0)
[/mm]
i) Zeigen sie, das es sich um eine Äquivalenzrelation handelt
ii) Bestimmen und zeichnen sie (in getrennte Koordinatensysteme) die Äquivalenzklassen von (1,2), (-4,3), (5,0), (0,2) und (0,0).
iii) Geben sie eine vollständige Liste aller Äquivalenzklassen an. |
| Aufgabe 2 | Wir betrachten die Menge [mm]M := \lbrace f: \IN \mapsto \IZ/10\IZ \rbrace [/mm] der Folgen der Ziffern von 0 bis 9. Auf M betrachten wir die Relation
[mm]f \sim g :\gdw \exists i_0 \in \IN : \forall i > i_0 : f(i)=g(i)[/mm]
i) Zeigen sie, das ~ eine Äquivalenzrelation ist.
ii) Zeigen sie, dass die Menge M/~ der Äquivalenzklassen überabzählbar ist.
(Hinweis: Stellen Sie eine Verbindung zwischen M und den reelen Zahlen her. Welche Bedeutung hat dann die Relation? ) |
Zu Aufgabe 1:
i) Eine Äquivalenzrelation muss ja reflexiv, symmetrisch und transitiv sein. Nur wie zeigt man das ?
ii) Wie zeichnet man da eine Äquivalenzrelation ? (Also nen Beispiel oder die Vorgehensweise wäre hilfreich)
iii) Die vollständige Liste müsste ja theoretisch alle Klassen der Form [mm] [\bruch{c}{t},b] [/mm] enthalten oder ?
Zu Aufgabe 2:
i) selbes Vorgehen wie oben erforderlich.
ii) Das ist so ziehmlich das kniffligste. Klar ist, wenn es eine Bijektion zwischen R und M gibt, so ist M überabzählbar, da R überabzählbar ist. Demnach müsste die Relation bedeuten, das es unendlich viele Folgen gibt, bei denen eben unendlich viele Folgenglieder verschieden sind (auch die nach [mm] i_0 [/mm] ).
Aber aus M überabzählbar folgt doch nicht zwangsläufig das die Äquivalenzklassen überabzählbar sind.
Die Frage wurde bisher in keinem anderen Forum gestellt.
Für jeden Tipp bin ich dankbar.
Gruß Allys
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:47 Do 10.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Wir erklären auf der Menge [mm]\IR^2[/mm] eine Relation durch
>
> [mm](a,b) \sim (c,d) :\gdw \exists t \in \IR:c=ta \;und\; td=b[/mm]
> [mm](t\ge0)[/mm]
>
> i) Zeigen sie, das es sich um eine Äquivalenzrelation
> handelt
> ii) Bestimmen und zeichnen sie (in getrennte
> Koordinatensysteme) die Äquivalenzklassen von (1,2),
> (-4,3), (5,0), (0,2) und (0,0).
> iii) Geben sie eine vollständige Liste aller
> Äquivalenzklassen an.
> Wir betrachten die Menge [mm]M := \lbrace f: \IN \mapsto \IZ/10\IZ \rbrace[/mm]
> der Folgen der Ziffern von 0 bis 9. Auf M betrachten wir
> die Relation
> [mm]f \sim g :\gdw \exists i_0 \in \IN : \forall i > i_0 : f(i)=g(i)[/mm]
>
> i) Zeigen sie, das ~ eine Äquivalenzrelation ist.
> ii) Zeigen sie, dass die Menge M/~ der Äquivalenzklassen
> überabzählbar ist.
> (Hinweis: Stellen Sie eine Verbindung zwischen M und den
> reelen Zahlen her. Welche Bedeutung hat dann die Relation?
> )
> Zu Aufgabe 1:
> i) Eine Äquivalenzrelation muss ja reflexiv, symmetrisch
> und transitiv sein. Nur wie zeigt man das ?
reflexiv: $(a,b) [mm] \sim [/mm] (a,b)$, weil $a=1*a$ und $b=1*b$
transitiv: sei $(a,b) [mm] \sim [/mm] (c,d)$ und $(c,d) [mm] \sim [/mm] (e,f)$. Dann gibt es t un s mit
$a=tc, b= td, c = se, d=sf$
Also:
$a=(ts)e, b=(ts)f$
Somit: $(a,b) [mm] \sim [/mm] (e,f)$
symmetrisch: das machst Du jetzt mal selbst
> ii) Wie zeichnet man da eine Äquivalenzrelation ? (Also
> nen Beispiel oder die Vorgehensweise wäre hilfreich)
Du sollst Aquivalenzklassen zeichnen !
Nehmen wir uns mal die Äquivalenzklasse von (1,2) her:
$(a,b) [mm] \sim [/mm] (1,2)$ [mm] \gdw [/mm] es ex. t mit $a=t$ und $b=2t$
Also: $(a,b) [mm] \sim [/mm] (1,2)$ [mm] \gdw [/mm] (a,b) ist ein Punkt der Geraden mit der Gleichung y=2x
> iii) Die vollständige Liste müsste ja theoretisch alle
> Klassen der Form [mm][\bruch{c}{t},b][/mm] enthalten oder ?
Unfug ! Denk an Geraden
FRED
>
> Zu Aufgabe 2:
> i) selbes Vorgehen wie oben erforderlich.
> ii) Das ist so ziehmlich das kniffligste. Klar ist, wenn
> es eine Bijektion zwischen R und M gibt, so ist M
> überabzählbar, da R überabzählbar ist. Demnach müsste
> die Relation bedeuten, das es unendlich viele Folgen gibt,
> bei denen eben unendlich viele Folgenglieder verschieden
> sind (auch die nach [mm]i_0[/mm] ).
> Aber aus M überabzählbar folgt doch nicht zwangsläufig
> das die Äquivalenzklassen überabzählbar sind.
>
> Die Frage wurde bisher in keinem anderen Forum gestellt.
> Für jeden Tipp bin ich dankbar.
>
> Gruß Allys
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