Äquivalenzrelationen & -Klasse < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:05 So 08.05.2016 | | Autor: | MeGa3636 |
| Aufgabe | | Seien x, y und z paarweise verschiedene Individuen und sei A = P({ x, y, z }) \ { ∅ }. Auf A sei eine Relation ∼ wie folgt definiert: Für a ∈ A und b ∈ A gilt a ∼ b genau dann, wenn es eine bijektive Abbildung f : a −→ b gibt. Zeigen Sie, dass ∼ eine Äquivalenzrelation auf A ist und bestimmen Sie die zugehörigen Äquivalenzklassen [a]∼ für alle a∈A. |
Mit welchem Ansatz muss ich anfangen? Muss ich erstmal beweisen, dass A eine Äquivalenzrelation ist ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 So 08.05.2016 | | Autor: | MeGa3636 |
| Aufgabe | | Seien x, y und z paarweise verschiedene Individuen und sei A = P({ x, y, z }) \ { ∅ }. Auf A sei eine Relation ∼ wie folgt definiert: Für a ∈ A und b ∈ A gilt a ∼ b genau dann, wenn es eine bijektive Abbildung f : a −→ b gibt. Zeigen Sie, dass ∼ eine Äquivalenzrelation auf A ist und bestimmen Sie die zugehörigen Äquivalenzklassen [a]∼ für alle a∈A. |
Mit welchem Ansatz muss ich anfangen? Muss ich erstmal beweisen, dass A eine Äquivalenzrelation ist ?
Ist es also richtig wenn ich wie folgt vorgehe:
A = P({ x, y, z })
= (x,x),(x,y),(x,z),(y,x),(y,y),(y,z),(z,x),(z,y),(z,z)
Reflexiv: (x,x),(y,y),(z,z)
Symmetrisch: (x,y)(y,x),(x,z)(z,x),(y,z)(z,y)
Transitiv: ((x,y)(y,z)),((x,z)(y,z))
Somit ist die Relation auf A eine Äquivalenzrelation. ???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:33 So 08.05.2016 | | Autor: | abakus |
Was ist mit P(....) gemeint?
Falls es sich dabei um die Potenzmenge handeln sollte, besteht diese aus allen ein-, zwei- und dreielementigen Teilmengen (die leere Menge wurde ausgeschlossen).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 So 08.05.2016 | | Autor: | MeGa3636 |
Äquivalenzrelationen & -Klasse: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status
Datum: 19:20 vor 1h 4m
Autor: MeGa3636
Ist es also richtig wenn ich wie folgt vorgehe:
A = P({ x, y, z })
= (x,x),(x,y),(x,z),(y,x),(y,y),(y,z),(z,x),(z,y),(z,z)
Reflexiv: (x,x),(y,y),(z,z)
Symmetrisch: (x,y)(y,x),(x,z)(z,x),(y,z)(z,y)
Transitiv: ((x,y)(y,z)),((x,z)(y,z))
Somit ist die Relation auf A eine Äquivalenzrelation. ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:28 So 08.05.2016 | | Autor: | abakus |
Kannst du nicht einfach mal erklären, was mit P(...) gemeint sein könnte?
Ich habe Zweifel an deiner Interpretation geäußert; deine Reaktion finde ich seltsam für jemanden, der Hilfe erwartet...
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> Äquivalenzrelationen & -Klasse: Frage (beantwortet)
> Status: (Frage) beantwortet Status
> Datum: 19:20 vor 1h 4m
> Autor: MeGa3636
>
> Ist es also richtig wenn ich wie folgt vorgehe:
>
> A = P({ x, y, z })
> = (x,x),(x,y),(x,z),(y,x),(y,y),(y,z),(z,x),(z,y),(z,z)
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> Reflexiv: (x,x),(y,y),(z,z)
> Symmetrisch: (x,y)(y,x),(x,z)(z,x),(y,z)(z,y)
> Transitiv: ((x,y)(y,z)),((x,z)(y,z))
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> Somit ist die Relation auf A eine Äquivalenzrelation. ???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:15 So 08.05.2016 | | Autor: | MeGa3636 |
Sry, habe vergessen zu sagen, dass A = P({ x, y, z }) \ { ∅ } die Potenzmenge ist. Also A ist gleich die Potenzmenge (x,y,z).
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> Seien x, y und z paarweise verschiedene Individuen und sei
> A = P({ x, y, z }) \ { ∅ }. Auf A sei eine Relation ∼
> wie folgt definiert: Für a ∈ A und b ∈ A gilt a ∼ b
> genau dann, wenn es eine bijektive Abbildung f : a −→ b
> gibt. Zeigen Sie, dass ∼ eine Äquivalenzrelation auf A
> ist und bestimmen Sie die zugehörigen Äquivalenzklassen
> [a]∼ für alle a∈A.
>
> Mit welchem Ansatz muss ich anfangen? Muss ich erstmal
> beweisen, dass A eine Äquivalenzrelation ist ?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ja, das mußt Du zuerst beweisen.
Bevor Du allerdings anfängst, irgendetwas zu basteln, solltest Du Dich mit dem Dir zur Verfügung stehenden Material vertraut machen.
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> Ist es also richtig wenn ich wie folgt vorgehe:
>
> A = P({ x, y, z })
> = (x,x),(x,y),(x,z),(y,x),(y,y),(y,z),(z,x),(z,y),(z,z)
Du sagst doch selber, daß P({ x, y, z }) die Potenzmenge von [mm] \{x,y,z\} [/mm] ist.
Es wäre vielleicht eine gute Idee gewesen, mal nachzuschlagen, was eine Potenzmenge ist, oder?
Hättest Du das getan, hättest Du herausgefunden, daß die Potenzmenge einer Menge die Menge ist, die alle ihre Teilmengen enthält. Es ist also eine Menge, deren Elemente Mengen sind.
Was also ist [mm] P(\{x,y,z\}?
[/mm]
[mm] P(\{x,y,z\}=\{\emptyset, \{x\}, \{y\}, ?????????????\}
[/mm]
Und A dann halt die Menge, in der die leere Menge als Element nicht enthalten ist.
Nun sollst Du zeigen, daß die oben definierte Relation eine Äquivalenzrelation ist.
Dazu mußt Du folgendes überlegen:
reflexiv?
Wenn die Menge a ein beliebiges Element aus A ist, gilt dann [mm] a\sim [/mm] a?
Wie findest Du heraus, ob es gilt? Indem Du Dir überlegst, ob es eine bijektive Abbildung von a nach a gibt. Wenn ja: welche?
symmetrisch?
Wenn a und b zwei Elemente aus A sind mit [mm] a\sim [/mm] b, für die es also eine Bijektion [mm] f:a\to [/mm] b gibt,
gilt dann auch [mm] b\sim [/mm] a, dh. gibt es eine Bijektion von b nach a? Welche?
transitiv?
Wenn a,b,c drei beliebige Elemente aus A sind mit [mm] a\sim [/mm] b und [mm] b\sim [/mm] c,
gilt dann auch [mm] a\sim [/mm] c?
Danach mußt Du über die Äquivalenzklassen von A nachdenken.
Zwischen welchen Elementen von A gibt es Bijektionen?
LG Angela
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> Reflexiv: (x,x),(y,y),(z,z)
> Symmetrisch: (x,y)(y,x),(x,z)(z,x),(y,z)(z,y)
> Transitiv: ((x,y)(y,z)),((x,z)(y,z))
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> Somit ist die Relation auf A eine Äquivalenzrelation. ???
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