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| Aufgabe | Sei A eine Menge und sei [mm] (A_{i}) [/mm] i [mm] \in [/mm] I ( I Indexmenge) eine Zerllegung von A, genüge also den Bedingungen.
Z1 [mm] \cup [/mm] i [mm] \in [/mm] I [mm] (A_{i}) [/mm] = A
Z2 (für alle i,j [mm] \inI)( A_{i} [/mm] = [mm] (A_{j}) \vee (A_{i}) \cap (A_{j}) [/mm] = [mm] \emptyset)
[/mm]
Zeigen sie, dass
[mm] R:={(a,b)\in A x A : (\exists i \in I)(a,b \in(A_{i})}
[/mm]
eine Äquivalenzrelation ist. |
Nabend zusammen,
ich muss ja die 3 eigenschaften zeigen. Falls ich mich irre oder es nicht ausführlich genug ist bitte meldet euch, denn Relationen sind nicht meine Stärke.^^
Reflexivität:
Da aRb und beide Elemente aus Menge Ai sind, gilt aRa und bRb.
Symmetrie:
da a und b aus Ai sind und Ai = Aj ist, gilt, dass Aj = Ai ist und somit auch aRb = bRa ist.
Transitivität:
sei c ein weiteres element aus der Relation, so gilt aus aRb und bRc auch aRc, da sie alle derselben Menge angehören.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:23 Mo 31.10.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Evelyn,
zunächst ein ganz allgemeiner Tipp: Irgendwo unterwegs wirst du bestimmt Z1 und Z2 benötigen. Das sollte an den entsprechenden Stellen erwähnt werden.
> Reflexivität:
>
> Da aRb und beide Elemente aus Menge Ai sind, gilt aRa und
> bRb.
Warum betrachtest du zwei Elemente $a$ und $b$? Zu zeigen ist $aRa$ für alle [mm] $a\in [/mm] A$.
Sei also [mm] $a\in [/mm] A$. Zu zeigen ist $aRa$, also dass es ein [mm] $i\in [/mm] I$ mit [mm] $a\in A_i$ [/mm] gibt. Siehst du, warum das der Fall ist?
> Symmetrie:
>
> da a und b aus Ai sind und Ai = Aj ist, gilt, dass Aj = Ai
> ist und somit auch aRb = bRa ist.
Seien also [mm] $a,b\in [/mm] A$ mit $aRb$. Dann existiert ein [mm] $i\in [/mm] I$ mit [mm] $a,b\in A_i$.
[/mm]
(Wo kommt bei dir das $j$ her?)
Zu zeigen ist $bRa$, also dass ein [mm] $k\in [/mm] I$ existiert mit [mm] $b,a\in A_k$. [/mm] Welches $k$ nehmen wir da?
> Transitivität:
>
> sei c ein weiteres element aus der Relation A, so gilt aus
> aRb und bRc auch aRc, da sie alle derselben Menge
> angehören.
Warum gehören alle $a,b,c$ einer gemeinsamen Menge [mm] $A_i$ [/mm] an? Zunächst haben wir ja nur, dass ein [mm] $i\in [/mm] I$ existiert mit [mm] $a,b\in A_i$ [/mm] und ein [mm] $j\in [/mm] I$ existiert mit [mm] $b,c\in A_j$. [/mm] Warum muss auch [mm] $c\in A_i$ [/mm] gelten?
Viele Grüße
Tobias
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hey tobi,
zur reflexivität:
geht die dann nach deinem tipp nicht aus der Relation an sich hervor?
das, was deiner meiner nach zu zeigen is, steht ja in der relation drin. Oder gilt es nach Z1? wie genau würd ichs dann zeigen können?
Zur symmetrie:
das k was ich nehmen würde, wäre mein j oder?
zur transitivität:
c [mm] \in [/mm] Ai gilt aufgrund der tatsache dass wir in Z2 stehen haben dass Ai = Aj ist richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:01 Mo 31.10.2011 | | Autor: | tobit09 |
> zur reflexivität:
> geht die dann nach deinem tipp nicht aus der Relation an
> sich hervor?
> das, was deiner meiner nach zu zeigen is, steht ja in der
> relation drin.
> Oder gilt es nach Z1? wie genau würd ichs
> dann zeigen können?
Genau, nach Z1 gilt [mm] $\bigcup_{i\in I}A_i=A\in [/mm] a$ und somit existiert ein [mm] $i\in [/mm] I$ mit [mm] $a\in A_i$, [/mm] also gilt $aRa$.
> Zur symmetrie:
> das k was ich nehmen würde, wäre mein j oder?
Wenn ich wüsste, was dein $j$ ist, könnte ich dir diese Frage beantworten... 
Tatsächlich ist die Situation einfacher: Wir brauchen gar kein $j$ einzuführen:
Wir haben ja ein [mm] $i\in [/mm] I$ mit [mm] $a,b\in A_i$. [/mm] Dann gilt natürlich auch [mm] $b,a\in A_i$, [/mm] also haben wir ein [mm] $k\in [/mm] I$ gefunden (nämlich $k=i$) mit [mm] $b,a\in A_k$. [/mm] Also gilt $bRa$.
> zur transitivität:
> c [mm]\in[/mm] Ai gilt aufgrund der tatsache dass wir in Z2 stehen
> haben dass Ai = Aj ist richtig?
Das sieht schon mal gut aus. Warum kann nicht [mm] $A_i\cap A_j=\emptyset$ [/mm] gelten (was ja nach Z2 zunächst auch möglich wäre)?
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zur transitivität:
es kann nicht gelten, da das element b in beiden Mengen vorhanden ist und daher der Schnitt nicht leer ist, oder?
oder ist die erklärung, dass b Relationen in beiden Mengen hat eine bessere Ausdrucksweise?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 Mo 31.10.2011 | | Autor: | tobit09 |
> zur transitivität:
>
> es kann nicht gelten, da das element b in beiden Mengen
> vorhanden ist und daher der Schnitt nicht leer ist, oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Super!
> oder ist die erklärung, dass b Relationen in beiden Mengen
> hat eine bessere Ausdrucksweise?
Nein, nimm besser obige Begründung.
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cool^^ tausend dank ;)
Lg evelyn
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