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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:48 Di 08.07.2008 | | Autor: | Tully |
| Aufgabe | Die Menge Z von geordneten Ziffern-Tupeln Z= {(z1, z2) | z1, z2 [mm] \in [/mm] {1,2,3,4,5,6}}
beschreibt das Würfeln mit zwei unterscheidbaren Würfeln. z1 ist die Augenzahl des ersten Würfels und z2 die Augenzahl des zweiten Würfels.
Auf der Menge Z der Aufgenpaare wird eine Äquivalenzrelation definiert. Zwei Tupel (z1, z2) und (x1, x2) stehen in Relation, wenn die Ziffern den selben Abstand haben, dh:
(z1, z2) R (x1, x2) [mm] \gdw [/mm] |z1 - z2| = |x1 - x2|
1. Zeigen Sie, dass die Relation die Eigenschaften einer Äquivalenzrelation besitzt.
2. Wieviele Äquivalenzrelationen lassen sich bilden?
3. Sind die Tupel (1,3) und (2,4) Äquivalent?
Sind die Tupel (3,4) und (5,2) Äquivalent?
4. Wieviele Elemente enthält die Klasse, in der sich das Paar (1,3) befindet?
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo.
Zu Teilaufgabe 1. Ist hier meine herangehensweise soweit korrekt?:
1. (1,3) R (2,4) [mm] \gdw [/mm] |2| = |2|
- Reflexivität
2. (1,3) R (3,1) [mm] \gdw [/mm] |2| = |2|
- Symmetrie
3. Wenn die Würfelpaare A,B,C = (1, 1)
Dann folgt aus A = B, B = C dass A gleich C ist.
- Transitivität
Teilaufgabe 2:
Da weiß ich leider nicht genau wie ich da vor gehen soll. Meine Lösung läge bei 36 oder 72 ;)
Teilaufgabe 3:
1. Tupel Äquivalent, 2. Tupel Antivalent.
Teilaufgabe 4:
Was sind denn Klassen? ;)
Vielen Dank für Eure Mithilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:35 Di 08.07.2008 | | Autor: | abakus |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Die Menge Z von geordneten Ziffern-Tupeln Z= {(z1, z2) |
> z1, z2 [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{1,2,3,4,5,6}}
>
> beschreibt das Würfeln mit zwei unterscheidbaren Würfeln.
> z1 ist die Augenzahl des ersten Würfels und z2 die
> Augenzahl des zweiten Würfels.
> Auf der Menge Z der Aufgenpaare wird eine
> Äquivalenzrelation definiert. Zwei Tupel (z1, z2) und (x1,
> x2) stehen in Relation, wenn die Ziffern den selben Abstand
> haben, dh:
>
> (z1, z2) R (x1, x2) [mm]\gdw[/mm] |z1 - z2| = |x1 - x2|
>
> 1. Zeigen Sie, dass die Relation die Eigenschaften einer
> Äquivalenzrelation besitzt.
>
> 2. Wieviele Äquivalenzrelationen lassen sich bilden?
>
> 3. Sind die Tupel (1,3) und (2,4) Äquivalent?
> Sind die Tupel (3,4) und (5,2) Äquivalent?
>
> 4. Wieviele Elemente enthält die Klasse, in der sich das
> Paar (1,3) befindet?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo.
>
> Zu Teilaufgabe 1. Ist hier meine herangehensweise soweit
> korrekt?:
Nein.
>
> 1. (1,3) R (2,4) [mm]\gdw[/mm] |2| = |2|
> - Reflexivität
Bei Reflexivität wird ein Element zu sich selbst in Relation gebracht. Zeige also (um bei deinem Beispiel zu bleiben), dass (1,3) R (1,3) gilt.
>
> 2. (1,3) R (3,1) [mm]\gdw[/mm] |2| = |2|
> - Symmetrie
Das sollte sich aber nicht auf das vertauschen der beiden Zahlen beschränken. Du musst zeigen, dass aus (a,b) R (c,d) auch (c,d) R (a,b) folgt
>
> 3. Wenn die Würfelpaare A,B,C = (1, 1)
> Dann folgt aus A = B, B = C dass A gleich C ist.
Hier musst du zeigen (nicht an Beispielen!) dass aus (a,b) R (c,d) und (c,d) R (e,f) auch (a,b) R (e,f) folgt.
> - Transitivität
>
> Teilaufgabe 2:
>
> Da weiß ich leider nicht genau wie ich da vor gehen soll.
Systematisch. Fangen wir mal mit dem größtmöglichen Abstand 5 an. Da gibt es folgende Relationen:
(1,6)R(1,6)
(1,6)R(6,1)
(6,1)R(6,1)
(6,1)R(1,6)
Beim Abstaand 4 wird es schon wesentlich mehr
(1,5) ist z.B. äquivalent zu (1,5), (5,1), (2,6), (6,2) (und die drei letztgenannten kannst du wiederum zu allen anderen in Relation setzen)
usw.
> Meine Lösung läge bei 36 oder 72 ;)
>
> Teilaufgabe 3:
>
> 1. Tupel Äquivalent, 2. Tupel Antivalent.
>
> Teilaufgabe 4:
>
> Was sind denn Klassen? ;)
Alle Elemente, die zueinander äquivalent sind, gehören ein und der selben Klasse an. Hier gibt es also 6 verschiedene Klassen (je eine für die Abstände 0 bis 5)
Der Klasse "Abstand 5" gehören die Paare (1,6) und (6,1) an.
Gruß Abakus
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> Vielen Dank für Eure Mithilfe!
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