Äquivalenzrelation zeigen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
die nächsten Tage muss ich mich mit linearer Algebra beschäftigen, u.a mit folgender Aufgabe:
Es sei (H, [mm] \circ) [/mm] eine kommutative Halbgruppe mit neutralem Element e. In H gelte die "Kürzungsregel", d.h für alle x, y, z [mm] \in [/mm] H mit x [mm] \circ [/mm] z = y [mm] \circ [/mm] z gilt x = y. Zeigen Sie:
Auf HxH wird durch [mm] (x_{1}, y_{1}) \sim (x_{2}, y_{2}) :\gdw x_{1} \circ y_{2} [/mm] = [mm] x_{2} \circ y_{1} [/mm] eine Äquivalenzrelation [mm] \sim [/mm] definiert.
So - erstmal durchatmen und die für mich noch neuen Begriffe Schritt für Schritt klären:
1. Sowas wie: (x [mm] \circ [/mm] y) ist eine (innere) Verknüpfung. Das ist in diesem Zusammenhang einfach nur eine Abbildungsvorschrift, die mit Hilfe von x und y ein neues Element schafft, welches in der gleichen Menge wie x und y liegt. Richtig?
2. Sei (H, [mm] \circ) [/mm] eine kommutative Halbgruppe: H muss dazu eine nichtleere Menge sein. [mm] \circ [/mm] eine Verknüpfung auf H, die assoziativ sein muss, dass die Gruppe eine Halbgruppe ist und ist sie zusätzlich noch kommutativ, so ist die Gruppe noch zusätzlich eine Halbgruppe.
3. Assoziativ: (x [mm] \circ [/mm] y) [mm] \circ [/mm] z = x [mm] \circ [/mm] (y [mm] \circ [/mm] z) - bedeutet, dass das Ergebnis der Verknüpfung x mit y verknüpft mit z identisch ist mit dem rechten Ausdruck. Klammersetzung ist also nicht wichtig.
4. Kommutativ: Reihenfolge ist nicht wichtig.
Fein.
Nun soll ich ja zeigen, dass die vorliegende Relation eine Äquivalentrelation ist. Zum Verständnis: Eine Äquivalenzrelation ist nichts weiter als eine Möglichkeit eine "Menge" zu filtern. Ich definiere einfach einige Eigenschaften, die ein Element erfüllen soll. Alle Elemente, welche diese Eigenschaften erfüllen landen in einer Menge bestehend aus vielen Paaren, sodass jedes Element genau ein mal gepaart mit jedem anderen Element als Paar vorkommt.
Richtig?
Nun zu meinem Lösungsansatz:
Um zu zeigen, dass es eine Äquivalenzrelation ist muss ich zeigen, dass die Relation reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
Reflexivität:
[mm] (x_{1}, y_{1}) \sim (x_{2}, y_{2}) :\gdw x_{1} \circ y_{2} [/mm] = [mm] x_{2} \circ y_{1}
[/mm]
wird zu
[mm] (x_{1}, y_{1}) \sim (x_{1}, y_{1}) :\gdw x_{1} \circ y_{1} [/mm] = [mm] x_{1} \circ y_{1}
[/mm]
da ja nur x [mm] \sim [/mm] x überprüft werden soll.
Da linke und rechte Seite gleich sind ist damit ist die Reflexivität bewiesen. Richtig?
Die Symmetrie sollte ähnlich funktionieren.
Aus:
[mm] x_{1} \circ y_{2} [/mm] = [mm] x_{2} \circ y_{1} [/mm]
muss
[mm] x_{2} \circ y_{1} [/mm] = [mm] x_{1} \circ y_{2}
[/mm]
folgen. Dies ist ja der Fall, da die Halbgruppe kommutativ ist gilt das Kommutativgesetz.
Nun zur Transitivität:
Aus:
[mm] x_{1} \circ y_{2} [/mm] = [mm] x_{2} \circ y_{1} [/mm]
und
[mm] z_{1} \circ y_{2} [/mm] = [mm] z_{2} \circ y_{1}
[/mm]
muss folgen:
[mm] x_{1} \circ z_{2} [/mm] = [mm] x_{2} \circ z_{1}
[/mm]
Da hänge ich noch und komme nicht weiter... help
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Sa 10.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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