Äquivalenzrelation beweisen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:05 Do 20.09.2007 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Sei M eine nicht leere Menge.
1. Für alle [mm] i \in \IN [/mm] seien [mm] R_i [/mm] Äq.-Relationen auf M. Beweisen Sie, dass [mm] R = \bigcap_{i \in \IN} R_i [/mm] eine Äq.-Relation auf M ist.
2. Beweisen oder widerlegen Sie:
Sind in R und S Äq.-Relationen auf M, so ist auch [mm] R \cup S [/mm] eine Äq.-Relation auf M. |
Ich habe leider keine Ahnung, wie ich das machen soll, mein Ansatz sieht folgendermaßen aus:
Zu 1:
Da die Menge nicht leer ist, kann man Äq.Relationen definieren, also ist i mindesten 1. Ich denke [mm] \bigcap_{i \in \IN} [/mm] bedeutet Schnittmenge aller Äq.-Relationen - oder ?
Heisst das dann, dass die Schnittmenge aller Äq.-Relationen auch eine Äq.-Relation ist ?
Zu 2:
Eine Äq.Relation muss ja die gesamte Menge abdecken, die definierten Klassen müssen disjunkt sein. Eine 2. Äq.-Relationen beinhaltet also zwar andere Klassen, aber die Elemente sind die gleichen, also sind die Klassen nicht mehr disjunkt und damit ist die Aussage falsch - stimmt das ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:30 Do 20.09.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Susanne,
> Ich denke [mm]\bigcap_{i \in \IN}[/mm]
> bedeutet Schnittmenge aller Äq.-Relationen - oder ?
Ja.
> Heisst das dann, dass die Schnittmenge aller
> Äq.-Relationen auch eine Äq.-Relation ist ?
Ja.
> Zu 2:
> Eine Äq.Relation muss ja die gesamte Menge abdecken
Diese Forderung wird durch a.) (siehe unten) gewährleistet.
> , die definierten Klassen müssen disjunkt sein.
Diese Forderung wird durch b.) und c.) gewährleistet.
> Äq.-Relationen beinhaltet also zwar andere Klassen, aber
> die Elemente sind die gleichen, also sind die Klassen nicht
> mehr disjunkt und damit ist die Aussage falsch - stimmt das ?
Die Aussage ist in der Tat falsch, aber deine Überlegung ist mir nicht wirklich klar.
Auf jeder nichtleeren Menge M existiert trivialerweise eine Äquivalenzrelation. Man betrachte einfach $M [mm] \times [/mm] M,$ welche nur eine Äquivalenzklasse, nämlich die ganze Menge M erzeugt. Aber das ist wohl nicht unbedingt einer besonderen Erwähnung im Beweis wert. Jedenfalls ist damit klar, daß die Voraussetzungen des Satzes erfüllbar sind. Es ist ja keineswegs gefordert, daß die (abzählbar) unendlich vielen Äquivalenzrelation tatsächlich alle verschieden voneinander sind. Insoweit ist in der Aussage des Satzes auch der Fall des Schnittes nur endlich vieler Äqu-Relationen enthalten.
Für den Beweis solltest du dir keine Gedanken um die implizierte Klassenbildung machen, sondern einfach nur die 3 Bedingungen für eine Äquivalenzrelation prüfen.
a.) Reflexivität
b.) Symmetrie
c.) Transitivität
Exemplarisch zu a.)
Sei $(a | b) [mm] \in [/mm] R.$ Dann ist $(a | b) [mm] \in R_i \; \forall [/mm] i [mm] \in \IN.$ [/mm] Da alle [mm] $R_i$ [/mm] Äqu-R sind, ist dann auch $(b | a) [mm] \in R_i \; \forall [/mm] i [mm] \in \IN.$ [/mm] Also ist auch $(b | a) [mm] \in [/mm] R.$ Damit ist a.) gezeigt.
b.) und c.) zeigt man nach dem gleichen Muster.
Für Teil 2 gibst du einfach ein Gegenbeispiel an.
Tipp von mir: Nimm eine Menge $M = [mm] \{a, b, c\}$ [/mm] mit 3 Elementen und gib 2 Äqu-Rel. an, die jeweils eine unterschiedliche Einteilung in je 2 Klassen erzeugen. Zeige dann, daß es Probleme mit c.) gibt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:50 Do 20.09.2007 | | Autor: | SusanneK |
Vielen Dank für deine Hilfe !
Ich denke, ich sehe jetzt klarer.
LG, Susanne.
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