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| Aufgabe | Gegeben sei die Relation { R = { (x,y) | x-y ist durch 3 teilbar} mit x,y [mm] \in [/mm] IZ }.
Ist R eine Äquivalenzrelation? |
Für eine Äquivalenzrelation muss ich prüfen, ob R reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
Reflexiv: Jedes Objekt der Grundmenge steht mit sich selbst in Relation
Symmetrie: Steht ein Objekt a in Relation mit dem Objekt b, dann steht auch b in Relation mit a.
Transitiv: Steht a mit b und b mit c in Relation, dann steht auch a mit c in Relation.
Ihr müsst mir unbedingt weiterhelfen, ich weiß zwar, was ich prüfen für eine Äquivalenzrelation prüfen muss, doch ich kann es einfach nicht anwenden.
Vielen Dank 
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> Gegeben sei die Relation R = { (x,y) | x-y ist durch 3
> teilbar mit x,y [mm] \in [/mm] IZ }.
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> Ist R eine Äquivalenzrelation?
> Für eine Äquivalenzrelation muss ich prüfen, ob R
> reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
>
> Reflexiv: Jedes Objekt der Grundmenge steht mit sich selbst
> in Relation
Hallo,
dann schauen wir doch mal nach, ob das der Fall ist:
Sei [mm] x\in \IZ.
[/mm]
Was mußt Du denn prüfen, wenn Du wissen willst, ob (x,x) in R ist?
> Symmetrie: Steht ein Objekt a in Relation mit dem Objekt
> b, dann steht auch b in Relation mit a.
Seien a, [mm] b\in \IZ [/mm] mit [mm] (a,b)\in [/mm] R.
Dann ist a-b durch 3 teilbar, dh. es gibt ein [mm] k\in \IZ [/mm] mit a-b=k*3.
Es ist b-a=-(a-b)=..., also ...
> Transitiv: Steht a mit b und b mit c in Relation, dann
> steht auch a mit c in Relation.
Seien [mm] a,b,c\in \IZ [/mm] mit [mm] (a,b),(b,c)\in [/mm] R.
Dann gibt es [mm] k,l\in\IZ [/mm] mit
a-b=k*3 und b-c=l*3.
Nun mußt Du schauen, ob Du Gründe dafür findest, daß (a,c) in R ist.
LG Angela
>
> Ihr müsst mir unbedingt weiterhelfen, ich weiß zwar, was
> ich prüfen für eine Äquivalenzrelation prüfen muss,
> doch ich kann es einfach nicht anwenden.
>
> Vielen Dank
>
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Was mußt Du denn prüfen, wenn Du wissen willst, ob (x,x) in R ist?
Hierzu hätte ich vorab eine Frage, und zwar: Wie kommst du hier auf (x,x)? Muss ich die Werte der Relation nehmen und alle möglichen Kombinationen aufschreiben?
Zur Symmetrie: Wenn ich deine Aussage richtig folgere, liegt eine Symmetrie vor.
Allgemeine Frage: Die Werte a,b und c sind von dir frei gewählt zur Veranschaulichung?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:51 Sa 03.01.2015 | | Autor: | YuSul |
> Was mußt Du denn prüfen, wenn Du wissen willst, ob (x,x)
> in R ist?
>
> Hierzu hätte ich vorab eine Frage, und zwar: Wie kommst du
> hier auf (x,x)? Muss ich die Werte der Relation nehmen und
> alle möglichen Kombinationen aufschreiben?
Naja, wie kommt man darauf das Paar (x,x) zu prüfen?
Das ist einfach die Reflexivität.
x muss in Relation zu sich selbst stehen.
Im Grunde überprüfst du damit auch direkt "alle Kombinationen". Wenn du das von Hand machen wolltest, würdest du nie fertig werden. Du müsstest ja alle ganzen Zahlen durchgehen. Deshalb macht man es direkt allgemein für jede ganze Zahl, weil das x ja einfach eine beliebige ganze Zahl ist und das Ergebnis dieser Betrachtung ist unabhängig von der ganzen Zahl immer gleich.
> Zur Symmetrie: Wenn ich deine Aussage richtig folgere,
> liegt eine Symmetrie vor.
Ja, es liegt in der Tat Symmetrie vor. Angela hat das sehr schön beschrieben. Versuche einmal ihre "..." selbstständig zu füllen.
Ihre Lücktexte haben mir im ersten Semester immer sehr geholfen. :)
> Allgemeine Frage: Die Werte a,b und c sind von dir frei
> gewählt zur Veranschaulichung?
Ja, a,b und c sind beliebige ganze Zahlen.
Das ist aber nicht zur Veranschaulichung gewählt. Anschaulicher wäre ja eigentlich ein Zahlenbeispiel oder ähnliches.
Das Problem ist wie mit der Reflexivität. Du möchtest es direkt allgemein für jede beliebige ganze Zahl zeigen, die gewissen Eigenschaften genügt. Welchen?
Denn wenn wir es für jede mögliche Kombination machen wollen, dann werden wir halt nie fertig.
Darum geht es ja in den Beweisen. Etwas so zu verallgemeinern um eine allgemeingültige Aussage treffen zu können.
Mache dir bei diesen Betrachtungen immer klar was deine Voraussetzung ist und was du zeigen möchtest.
Diese Äquivalenzrelationen sind dafür meiner Meinung nach irgendwie das beste Beispiel.
Ich hoffe es hilft.
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Was mußt Du denn prüfen, wenn Du wissen willst, ob (x,x) in R ist?
x,x wäre dann nicht in R, da R (x,y) ist?
Es ist b-a=-(a-b)= b-a, also liegt eine Symmetrie vor.
Aber wie komme ich auf die folgende Zeile?
Es ist b-a=-(a-b)
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> Was mußt Du denn prüfen, wenn Du wissen willst, ob (x,x)
> in R ist?
>
> x,x wäre dann nicht in R, da R (x,y) ist?
Hallo,
Du hast Wesentliches nicht verstanden.
Wir besprechen das jetzt.
Wir haben hier eine Relation R.
Die Relation enthält Zahlenpaare.
Wir schauen R genauer an:
[mm] R=\{(x,y)\qquad \qquad \qquad \}
[/mm]
Die Menge R besteht aus Paaren
[mm] R=\{(x,y)|\qquad \qquad \qquad \}
[/mm]
Die Menge R besteht aus Paaren, für welche gilt:
[mm] R=\{(x,y)| \qquad \qquad x,y\in \IZ\}
[/mm]
Die Menge R besteht aus Paaren, für welche gilt:
beide Einträge sind ganze Zahlen
[mm] R=\{(x,y)| x-y \quad ist \quad teilbar \quad durch \quad 3,\quad x,y\in \IZ\}
[/mm]
Die Menge R besteht aus Paaren, für welche gilt:
die Differenz "erster Eintrag minus zweiter Eintrag" ist durch 3 teilbar, und
beide Einträge sind ganze Zahlen.
Jetzt gucken wir uns mal ein paar Zahlenpaare an und untersuchen, ob sie in R sind:
(1,2):
1-2=-1. Nicht durch 3 teilbar, also ist [mm] (1,2)\not\in [/mm] R.
(10.7, 4.7):
10.7-4.7=6=2*3, also Differenz durch 3 teilbar.
Aber 10.7, [mm] 4.7\not\in \IZ, [/mm] also ist (10.7, [mm] 4.7)\not\in [/mm] R.
(22, 40):
22-40=-18=(-6)*3, also Differenz durch 3 teilbar, beide Einträge aus [mm] \IZ, [/mm] somit [mm] (22,40)\in [/mm] R.
Vielleicht findest Du selbst noch ein paar Paare, die in R sind.
Statt "(22,40) ist in der Relation R" sagt man auch "22 steht in Relation zu 40", und man schreibt dafür mitunter 22R40 oder [mm] 22\sim [/mm] 40.
Für die Reflexivitätwill man nun wissen, ob die Paare mit gleichen Einträgen stets in R sind, also z.B. (-4711, -4711), (0,0), (13, 13).
Man muß es für alle Paare prüfen, und weil man damit nie fertig wird, nimmt man einen Platzhalter:
sei [mm] x\in \IZ.
[/mm]
Nun schaut man, ob alle Paareder Bauart (x,x) in der Relation R sind.
Was müssen wir prüfen? Ob die Differenz durch 3 teilbar ist.
Und???
Wenn Du das verstanden hast, kannst Du die Symmetrie prüfen.
Es geht darum: wenn man ein Paar (x,y) hat, welches in der Relation R ist, ist dann auch [mm] (y,x)\in [/mm] R?
Sei [mm] x,y\in [/mm] R. Dann sind [mm] x,y\in \IZ [/mm] und es ist
x-y teilbar durch 3.
Also gibt es eine ganze Zahl k mit x-y=k*3.
Die Frage, die Du klären mußt, ist nun, ob (y,x) auch in R ist.
Welche beiden Dinge sind zu prüfen?
Ergebnis der Prüfung?
LG Angela
>
>
> Es ist b-a=-(a-b)= b-a, also liegt eine Symmetrie vor.
>
> Aber wie komme ich auf die folgende Zeile?
> Es ist b-a=-(a-b)
>
>
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Hallo Angela,
tausend Dank für deine ausführliche und sehr hilfreiche Erklärung. Ich wusste bis eben nicht wirklich, wie so eine Aufgabe überhaupt gelesen wird.
Ich setze jetzt mal folgendermaßen an: Wenn ich für x die Zahl 5 einsetze, dann wäre die Differenz von 5-5 = 0; Die Differenz ist durch 3 teilbar und befindet sich im Bereich von [mm] {\IZ}.
[/mm]
Somit ist die Reflexivität für (x) vorhanden.
Für die Voraussetzung zur Prüfung der Symmetrie muss ich das gleiche Spiel für (y,y) machen?
Die Differenz von (y,y) ist auch durch 3 teilbar und befindet sich im Bereich der ganzen Zahlen.
Zur Symmetrie:
Sei y,x [mm] {\in} [/mm] R. Dann sind y,x [mm] {\in \IZ } [/mm] und es ist y-x teilbar durch 3. Also gibt es eine ganze Zahl k' mit {y-x = k'*3 }
Somit wäre auch die Symmetrie vorhanden ?
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> Ich setze jetzt mal folgendermaßen an: Wenn ich für x die
> Zahl 5 einsetze, dann wäre die Differenz von 5-5 = 0; Die
> Differenz ist durch 3 teilbar
Hallo,
jetzt weißt Du, daß das Paar (5,5) in der Menge R ist, die 5 steht in Relation zu sich selbst.
Du mußt aber zeigen, daß jede ganze Zahl in Relation zu sich selbst steht,
daß also für alle [mm] x\in \IZ [/mm] gilt: [mm] (x,x)\in [/mm] R.
Beweis:
sei [mm] x\in \IZ.
[/mm]
(Ausführlich: sei x irgendeine ganze Zahl.)
Es ist x-x=0=0*3, also ist [mm] (x,x)\in [/mm] R.
Für alle [mm] x\in \IZ [/mm] gilt [mm] (x,x)\in [/mm] R, also ist R reflexiv.
> Für die Voraussetzung zur Prüfung der Symmetrie muss ich
> das gleiche Spiel für (y,y) machen?
???
> Zur Symmetrie:
Zu zeigen: [mm] (x,y)\in [/mm] R ==> [mm] (y,x)\in [/mm] R.
Beweis:
Sei [mm] (x,y)\in [/mm] R.
Dann sind [mm] x,y\in \IZ [/mm] und es gibt ein [mm] k\in \IZ [/mm] mit x-y=k*3.
==> y-x=-(x-y)=-k*3=(-k)*3.
Also ist y-x durch 3 teilbar, und weil [mm] x,y\in \IZ [/mm] ist [mm] (y,x)\in [/mm] R.
LG Angela
>
> Sei y,x [mm]{\in}[/mm] R. Dann sind y,x [mm]{\in \IZ }[/mm] und es ist y-x
> teilbar durch 3. Also gibt es eine ganze Zahl k' mit {y-x =
> k'*3 }
>
> Somit wäre auch die Symmetrie vorhanden ?
>
>
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Erst einmal vielen Dank für deine Antwort.
Ich sollte es verstanden haben (die Reflexivität auf jeden Fall)
Zur Symmetrie:
Würde ich mich jetzt im Bereich der natürlichen Zahlen befinden, würde keine Symmetrie vorliegen?
Könntest du mir bitte auch noch bei den Begriffen asymmetrisch und identitiv helfen?
Asymmetrie: Punkt enthalten, an 1. Winkehalbierender gespiegelter Punkt nicht enthalten
Identitiv: wie asymmetrisch, aber Punkte auf der 1. Winkelhalbierenden dürfen enthalten sein.
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> Erst einmal vielen Dank für deine Antwort.
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> Ich sollte es verstanden haben (die Reflexivität auf jeden
> Fall)
>
> Zur Symmetrie:
>
> Würde ich mich jetzt im Bereich der natürlichen Zahlen
> befinden, würde keine Symmetrie vorliegen?
Hallo,
doch:
wir betrachten jetzt [mm] R_1:=\{(x,y)| 3 \quad teilt \quad x-y, x,y\in \IN\}.
[/mm]
Es ist (37, [mm] 58)\in R_1, [/mm] denn die Differenz 37-58=-21=(-7)*3 wird von 3 geteilt.
In der Def. von [mm] R_1 [/mm] steht nichts davon, daß daß die Differenz eine natürliche Zahl sein muß.och die Transitivität zeigen.
Zurück zu R: wenn Du zeigen sollst, daß es eine Äquivalenzrelation ist, mußt Du nun nun noch die Transitivität nachweisen.
>
> Könntest du mir bitte auch noch bei den Begriffen
> asymmetrisch und identitiv helfen?
Was genau sollst Du tun?
Rausfinden, ob R asymmetrisch/identitiv ist?
> Asymmetrie: Punkt enthalten, an 1. Winkehalbierender
> gespiegelter Punkt nicht enthalten
> Identitiv: wie asymmetrisch, aber Punkte auf der 1.
> Winkelhalbierenden dürfen enthalten sein.
Naja, dann mach Dir doch erstmal ein Koordinatensystem, sagen wir von -10 bis 10, und trag mal die Punkte, die in der Relation R sind, ein.
Da solltest Du es dann ja eigentlich sehen.
LG Angela
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Transitiv: Steht a mit b und b mit c in Relation, dann steht auch a mit c in Relation.
Ich habe ehrlich gesagt keine Ahnung, wie hier anzusetzen ist. Mir fehlt da schon wieder die dritte Variable. (Wie ich diese Beweiserbringung hasse, es geht doch nichts über Zahlen, da kann ich was damit anfangen
Dennoch möchte ich gerne einen Ansatz versuchen: Steht x in Relation zu y und y in Relation zu z, dann steht auch x mit z in Relation. Nur z habe ich ja wieder nicht?
Auf Asymmetrisch und identitiv würde ich dann näher eingehen, sobald ich mit den Äquivalenzrelationen klar komme.
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> Transitiv: Steht a mit b und b mit c in Relation, dann
> steht auch a mit c in Relation.
Genau. Das ist zu zeigen.
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> Ich habe ehrlich gesagt keine Ahnung, wie hier anzusetzen
> ist. Mir fehlt da schon wieder die dritte Variable.
Hallo,
was meinst Du nur damit? Ich verstehe nicht, was Dir fehlt.
Für die Transitivität ist, wie Du oben schreibst, zu zeigen:
sofern wir die Situation haben, daß die Paare (a,b) und (b,c) in der Relation R sind, dann kann es nicht anders sein, als daß auch a mit c in Relation ist, also [mm] (a,c)\in [/mm] R.
Beweis: seien (a,b), [mm] (b,c)\in [/mm] R.
Dann sind a, [mm] b,c\in \IZ, [/mm] und es sind die Differenzen a-b und b-c durch 3 teilbar, dh.
es gibt [mm] k,k'\in \IZ [/mm] mit
a-b=k*3 und b-c=k'*3.
Bis zu dieser Stelle habe ich nur notiert, was wir der Voraussetzung, daß (a,b), [mm] (b,c)\in [/mm] R , entnehmen können.
Dies sind die Zutaten mit denen man nun beweist, daß auch (a,c) in R sein muß.
Sag jetzt mal, was zu prüfen ist, wenn man wissen will, ob [mm] (a,c)\in [/mm] R!
Jetzt geht's los:
a-c= [Achtung, ein Trick!] (a-b)+(b-c)=... ... ..., also ...
> (Wie
> ich diese Beweiserbringung hasse, es geht doch nichts über
> Zahlen, da kann ich was damit anfangen
Was studierst Du? Falls es Mathematik im Hauptfach ist, auch fürs Lehramt am Gymnasien oder Realschulen, solltest Du in diesem Fall Deine Studienwahl überdenken.
>
> Dennoch möchte ich gerne einen Ansatz versuchen: Steht x
> in Relation zu y und y in Relation zu z, dann steht auch x
> mit z in Relation. Nur z habe ich ja wieder nicht?
S.o.: es wird vorausgesetzt, daß Du zwei Paare (x,y) und (y,z) hast, die beide in R sind.
Und nun muß man zeigen, daß unter dieser Voraussetzung auch das Paar (x,z) in R ist.
Weil Du Zahlen magst, mal am Beispiel:
es sind (5,20) und (20, -4) in R. (Prüfe das!)
Wenn die Relation wirklich transitiv ist, wissen wir, daß dann auch [mm] (5,-4)\in [/mm] R ist.
>
>
> Auf Asymmetrisch und identitiv würde ich dann näher
> eingehen, sobald ich mit den Äquivalenzrelationen klar
> komme.
Das ist umsichtig. Sonst wird's hier auch schnell chaotisch.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:00 Sa 10.01.2015 | | Autor: | Michi4590 |
Vielen Dank für deine Mühen. Ich muss mir das alles noch einmal mit Videos und in Ruhe anschauen. Ich studiere Medieninformatik (Mathe nur im 1. See, hatte mit Mathe auch nie wirkliche Probleme, aber diese Relationen checke ich einfach nicht :-(
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