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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen, Ich habe gerade mit dem Studium angefangen.
Zur Zeit ist zahlentheorie zwar kein Buch mit sieben Siegeln aber immer noch mit 4 ;)
Wir haben auf unserem Übungsblatt folgenden Aufgabe
[Sei G = (M,*) eine Gruppe und = C G x G eine Relation definiert durch
a=b gdw. existiert ein t € G mit a = t*b*t^-1
Zeigen Sie das = eine Äquvalentrelation auf G bildet]
ACHTUNG ÜBER dem = steht in der Aufgabe noch ein Wellenzeichen
Also ich bin dabei die Symetrie zu prüfen.
Ich habe a = t*b*t^-1 und b=t*c*t^-1
wenn ich jetzt a R b => b R a nehmen
t*b*t^-1 = t*c*t^-1 => t*c*t^-1=t*b*t^-1
wenn ich jetzt t*b*t^-1 und t*c*t^-1 klammer
also
(t*b*t^-1)=(t*c*t^-1) und dann jeweils subtrahiere
-(t*c*t^-1)=-(t*b*t^-1) und dann durch -1 dividiere bekomme ich ja
t*c*t^-1=t*b*t^-1 = t*c*t^-1=t*b*t^-1
Nur irgendwie weiß ich nicht ob das jetzt die Lösung ist oder hab ich mich hier total vertan?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 Do 01.11.2012 | | Autor: | abakus |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo zusammen, Ich habe gerade mit dem Studium angefangen.
> Zur Zeit ist zahlentheorie zwar kein Buch mit sieben
> Siegeln aber immer noch mit 4 ;)
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> Wir haben auf unserem Übungsblatt folgenden Aufgabe
>
> [Sei G = (M,*) eine Gruppe und = C G x G eine Relation
> definiert durch
>
> a=b gdw. existiert ein t € G mit a = t*b*t^-1
>
> Zeigen Sie das = eine Äquvalentrelation auf G bildet]
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> ACHTUNG ÜBER dem = steht in der Aufgabe noch ein
> Wellenzeichen
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> Also ich bin dabei die Symetrie zu prüfen.
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> Ich habe a = t*b*t^-1
Diese Gleichung würde ich jetzt "von links" mit t^-1
multiplizieren, das ergibt
[mm] $t^{-1}$*a=$t^{-1}$*t*b*$t^{-1}$.
[/mm]
Da [mm] $t^{-1}$ [/mm] das Inverse von t ist, vereinfacht sich [mm] $t^{-1}*t$ [/mm] zu 1.
Die so erhaltene Gleichung jetzt von rechts mit t multiplizieren...
Gruß Abakus
> und b=t*c*t^-1
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> wenn ich jetzt a R b => b R a nehmen
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> t*b*t^-1 = t*c*t^-1 => t*c*t^-1=t*b*t^-1
>
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> wenn ich jetzt t*b*t^-1 und t*c*t^-1 klammer
>
> also
> (t*b*t^-1)=(t*c*t^-1) und dann jeweils subtrahiere
>
> -(t*c*t^-1)=-(t*b*t^-1) und dann durch -1 dividiere bekomme
> ich ja
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> t*c*t^-1=t*b*t^-1 = t*c*t^-1=t*b*t^-1
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> Nur irgendwie weiß ich nicht ob das jetzt die Lösung ist
> oder hab ich mich hier total vertan?
>
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Alles klar, was ich jetzt verstanden habe, ist das ich nicht -1 sagen kann, weil es ja eine beliebige verknüpfung ist und hier kann ich ja dann nur mit Verknüpfungen arbeiten.
Aber warum muss das b=s*a*s^-1 sein?
Kann es auch b=m*a*m^-1 sein?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 Do 01.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Aber warum muss das b=s*a*s^-1 sein?
> Kann es auch b=m*a*m^-1 sein?
Zu zeigen:
Es existiert ein [mm] $s\in [/mm] G$ mit [mm] $b=s*a*s^{-1}$.
[/mm]
Genausogut kannst du zeigen:
Es existiert ein [mm] $m\in [/mm] G$ mit [mm] $b=m*a*m^{-1}$.
[/mm]
In beiden Fällen steht ja im Prinzip die gleiche Aussage. Nur ist dem gesuchten Objekt einmal der Name s und einmal der Name m gegeben.
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]"){kind=small}
Warum sollte diese Gleichheite gelten?
