Äquivalenzrelation < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass für die Menge R definiert durch (X,Y) [mm] \in [/mm] R genau dann, wenn X~Y (d.h. genau dann, wenn X und Y gleichmächtig sind) eine Äquivalenzrelation ist. |
Hallo,
ich habe für die oben genannte Aufgabe schon eine Lösung raus, würde jedoch gern wissen ob sie richtig ist.
Meine erste Überlegung war natürlich, dass ich Reflexivität, Symmetrie und Transitivität nachweisen muss.
Ich bin davon ausgegangen, dass es sich bei X und Y um Mengen handelt. Das würde bedeuten, wenn X und Y gleichmächtige Mengen sind, dass die Anzahl ihrer Elemente gleich ist.
Habe es zunächst so aufgeschrieben:
(X,Y) [mm] \in [/mm] R [mm] \Rightarrow [/mm] X~Y [mm] \Rightarrow [/mm] |X|=|Y|
Reflexivität:
(X,X) [mm] \in [/mm] R [mm] \Rightarrow [/mm] X~X [mm] \Rightarrow [/mm] |X|=|X|
offensichtlich richtig.
Symmetrie:
(X,Y) [mm] \in [/mm] R [mm] \Rightarrow [/mm] (Y,X) [mm] \in [/mm] R
(X,Y) [mm] \in [/mm] R [mm] \Rightarrow [/mm] |X|=|Y|
sei |X|= n [mm] \Rightarrow [/mm] |Y|= n n [mm] \in \IN^0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] n = n [mm] \Rightarrow [/mm] |Y|=|X|
Transitivität:
(X,Y) [mm] \in [/mm] R [mm] \wedge [/mm] (Y,Z) [mm] \in [/mm] R [mm] \Rightarrow [/mm] (X,Z) [mm] \in [/mm] R
[mm] \Rightarrow [/mm] |X|=|Y| [mm] \wedge [/mm] |Y|=|Z|
sei nun |X|= n [mm] \Rightarrow [/mm] |X|=|Y|=|Z|= n n [mm] \in \IN^0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] |X|=|Z|
[mm] \Box
[/mm]
Vielen Dank im Voraus ;)
LG, Gratwanderer
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:14 Fr 20.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich sehe keinen direkten Fehler, solange du X,Y endliche Mengen sind, du also die Mächtigkeit =n setzen kannst.
Wenn die Mengen aber unendlich sind, etwa [mm] X=\IN, Y=\IZ [/mm] kannst du nicht mehr mit n operieren.
komisch find ich, dass da steht (X,Y) $ [mm] \in [/mm] $ R
es müsste doch heissen $(X,Y) [mm] \subset [/mm] R $
oder hast du dich nur verschrieben?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Nein, da steht [mm] \in [/mm] in der Aufgabe. Habe gerade im Skript folgendes gelesen was mich etwas verunsichert hat:
Zwei Mengen X und Y sind gleichmächtig (X~Y), wenn es eine bijektive Abbildung f: X [mm] \to [/mm] Y gibt.
Brauche ich diesen Satz, wenn X und Y nicht endlich sind?
Habe dazu mal folgendes versucht:
Reflexivität:
X~X [mm] \Rightarrow \exists [/mm] bijektive Abbildung f [mm] \forall [/mm] X : f(X)=X
das wäre doch die identische Abbildung [mm] (f_i_d) [/mm] und die ist bijektiv.
Symmetrie:
X~Y [mm] \Rightarrow [/mm] Y~X
X~Y [mm] \Rightarrow \exists [/mm] bijektive Abbildung f [mm] \forall [/mm] X : f(X)=Y
da f eine bijektive Abbildung ist, existiert eine (bijektive) inverse Abbildung f', sodass
f(X)=Y [mm] \wedge [/mm] f'(Y)=X = Y~X
Transitivität:
X~Y [mm] \wedge [/mm] Y~Z [mm] \Rightarrow [/mm] X~Z
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] bijektive Abbildung [mm] f_1 \forall [/mm] X : [mm] f_1(X)=Y \wedge \exists [/mm] bijektive Abbildung [mm] f_2 \forall [/mm] Y : [mm] f_2(Y)=Z
[/mm]
da [mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2 [/mm] bijektive Abbildungen sind, lässt sich [mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2 [/mm] verknüpfen, sodass [mm] (f_2\circ f_1)(X)=f_3(X)=Z
[/mm]
sodass [mm] f_3 [/mm] eine bijektive Abbildung X [mm] \to [/mm] Z ist.
[mm] \Rightarrow [/mm] X~Z
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:59 Fr 20.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Jetzt seh ich keinen Fehler mehr, beim ersten schreibst du einfach z. Bsp id.
Gruss leduart
|
|
|
|
