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Forum "Uni-Sonstiges" - Äquivalenzrelation
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Äquivalenzrelation: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:12 Di 01.02.2005
Autor: larlib

Hallo,
ich hab hier eine Aufgabe, die da heißt:

M={0,1,2,3,4}
R={(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(0,2),(2,0),(1,3),(3,1)}

Prüfe, ob R eine Äquivalenzrelation ist.
reflexiv: (0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)......OK
symmetrisch: (0,2),(2,0),(1,3),(3,1)......OK
transitiv:(a,b)~(b,c)? Das ist mir unklar?

Heißt doch: (0,2),(2,0) (b,b)=(2,2) und wenn das gilt, muss auch (a,c) also(0,0) in der Relation drin sein.(0,0) ist drin, also transitiv?
Noch ne Frage:
Ab wann ist denn eine Relation transitiv?
Schon, wenn man nachgewiesen hat, dass es für 2 Zahlenpaare (wie oben) gilt.


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Äquivalenzrelation: transitiv Korrigiert
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:02 Di 01.02.2005
Autor: mathemaduenn

Hallo larlib,
Transitivität:
[mm](a,b)\in R \wedge (b,c)\in R \Rightarrow (a,c)\in R[/mm]
Das muß für alle möglichen Kombinationen gelten.
[mm](0,2)\in R \wedge (2,0)\in R \Rightarrow (0,0)\in R[/mm] O.K.
[mm](2,0)\in R \wedge (0,2)\in R \Rightarrow (2,2)\in R[/mm] O.K.
usw.
Alles klar?
gruß
mathemaduenn


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Bezug
Äquivalenzrelation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:28 Di 01.02.2005
Autor: larlib

Ok, verstanden!
Dann zur Kontrolle noch eine Aufgabe:
Sei A={1,2,3,4}
a) R1={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(2,3),(3,2),(2,4),(4,2),(3,4),(4,3)}
b) R1={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(3,1),(4,1)}

Prüfe ob folgende Relationen Äquivalenzrelationen sind!

zu a)
reflexiv:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)...OK
symmetrisch:(2,3),(3,2),(2,4),(4,2),(3,4),(4,3)...OK
transitiv:
(2,3),(3,2)=(3,2)
(2,4),(4,2)=(4,2)
(3,4),(4,3)=(4,3)...OK
Lösung a) Äquivalenzrelation

zu b)
reflexiv:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)...OK
symmetrisch:(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(3,1),(4,1)...OK
transitiv:
(1,2),(2,1)=(1,1)
(1,3),(3,1)=(1,1)
(1,4),(4,1)=(1,1)...OK , bis dahin
Lösung b) Äquivalenzrelation...falsch, Fehler gefunden!
Ich muss mir ja alle Paare angucken, wo 2te Zahl eines Tupels= 1te Zahl eine Tupels ist, also
(4,1),(1,3)=(4,3) kein Element vonR2
Lösung b) keine Äquivalenzrelation....Korrekt?

man man, da muss man ja höllisch aufpassen.
Falls diese Aufgabe richtig ist, danke ich dir schon einmal, mathemaduenn
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Bezug
Äquivalenzrelation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:57 Di 01.02.2005
Autor: mathemaduenn

Hallo larlib,
> zu a)
>  reflexiv:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)...OK
>  symmetrisch:(2,3),(3,2),(2,4),(4,2),(3,4),(4,3)...OK
>  transitiv:
>  (2,3),(3,2)=(3,2)
>  (2,4),(4,2)=(4,2)
>  (3,4),(4,3)=(4,3)...OK
>  Lösung a) Äquivalenzrelation

[kopfkratz3]  
[mm](2,3) \in R \wedge (3,2) \in R \Rightarrow (2,2) \in R[/mm]
müsste es heißen. Und theoretisch mußt du alle möglichen Paare bilden. Also z.B. auch [mm](3,4) \in R \wedge (4,2) \in R \Rightarrow (3,2) \in R[/mm]
> zu b)
>  reflexiv:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)...OK
>  symmetrisch:(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(3,1),(4,1)...OK
>  transitiv:
>  (1,2),(2,1)=(1,1)
>  (1,3),(3,1)=(1,1)
>  (1,4),(4,1)=(1,1)...OK , bis dahin
>  Lösung b) Äquivalenzrelation...falsch, Fehler gefunden!
>  Ich muss mir ja alle Paare angucken, wo 2te Zahl eines
> Tupels= 1te Zahl eine Tupels ist, also
>  (4,1),(1,3)=(4,3) kein Element vonR2
>  Lösung b) keine Äquivalenzrelation....Korrekt?

Genau. Ein Gegenbsp. reicht.
gruß
mathemaduenn
Bezug
                                
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Äquivalenzrelation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:10 Di 01.02.2005
Autor: larlib

UUps, glaube hab mich gerade verklickt!!!

>  Genau. Ein Gegenbsp. reicht.

Dachte doppelt hält besser,gell
Scheint jetzt klar zu sein.

Danke schön
hast mir sehr geholfen!!!



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Äquivalenzrelation: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:13 Mi 02.02.2005
Autor: larlib

Hallo mathemaduenn
>  Transitivität:
>  [mm](a,b)\in R \wedge (b,c)\in R \Rightarrow (b,c)\in R[/mm]

Muss es hier nicht heißen:
( a , b )  [mm] \in [/mm] R  [mm] \wedge [/mm] ( b , c ) [mm] \in [/mm] R  [mm] \Rightarrow [/mm] ( a , c ) [mm] \in [/mm] R

Gruß
larlib


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Äquivalenzrelation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:30 Mi 02.02.2005
Autor: Bastiane

Hallo nochmal! ;-)
> Hallo mathemaduenn
>  >  Transitivität:
>  >  [mm](a,b)\in R \wedge (b,c)\in R \Rightarrow (b,c)\in R[/mm]
>  
>
> Muss es hier nicht heißen:
>  ( a , b )  [mm]\in[/mm] R  [mm]\wedge[/mm] ( b , c ) [mm]\in[/mm] R  [mm]\Rightarrow[/mm] ( a
> , c ) [mm]\in[/mm] R
>  
> Gruß
>  larlib

Ja, da hast du Recht! [ok] Da hat sich mathemaduenn wohl vertippt - kann ja mal passieren. Aber anders würde es ja keinen Sinn machen. :-)

Viele Grüße
Bastiane
[cap]

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Äquivalenzrelation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:33 Do 03.02.2005
Autor: larlib

An alle noch mal einen schönen Dank!

Gruß
larlib
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