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| Aufgabe | Es soll untersucht werden, welche der folgenden Relationen ~ in der jeweiligen Menge M Äquivalenzrelationen sind:
a) M := [mm] \IR [/mm] und + ist gegeben durch
x~y : [mm] \gdw \exists [/mm] k [mm] \in \IZ [/mm] : x = y + [mm] 2k\pi
[/mm]
b) M [mm] :=\mathcal{P} (\IR) [/mm] und ~ ist gegeben durch
A~B : [mm] \gdw [/mm] |A [mm] \Delta [/mm] B| < [mm] \infty [/mm] |
Hat jemand einen Lösungsvorschlag zu dieser Aufgabe? Ich weiß nicht, wie man zum Beweis ansetzen soll!
Vielen Dank im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Jacques,
zu (a)
Prüfe nach, ob die so definierte Relation
(1) reflexiv ist
(2) symmetrisch ist
(3) transitiv ist
Ist sie reflexiv? Gilt [mm] $\forall a\in [/mm] M : [mm] a\sim [/mm] a$?
Dh. [mm] $\exists k\in\IZ [/mm] : [mm] a=a+2k\pi$ [/mm] ?
Kannst du solch ein [mm] $k\in\IZ$ [/mm] finden/angeben?
Ist sie symmetrisch, dh folgt aus [mm] $a\sim [/mm] b$ stets [mm] $b\sim [/mm] a$ ?
[mm] $a\sim b\gdw\exists k\in\IZ [/mm] : [mm] a=b+2k\pi$
[/mm]
Kannst du auch hier ein $k'$ finden, so dass [mm] $b\sim [/mm] a$ gilt?
Du hast ja [mm] $a=b+2k\pi\Rightarrow b=a-2k\pi=a+2(-k)\pi$
[/mm]
Also $k'=....$
Ist sie transitiv?
dh. folgt aus [mm] $a\sim [/mm] b$ und [mm] $b\sim [/mm] c$ auch [mm] $a\sim [/mm] c$ ?
Nimm dir [mm] $a,b,c\in [/mm] M$ her mit [mm] $a\sim [/mm] b$ und [mm] $b\sim [/mm] c$
also ex. [mm] $k_1,k_2\in\IZ$ [/mm] mit [mm] $a=b+2k_1\pi$ [/mm] und [mm] $b=c+2k_2\pi$
[/mm]
Dann ist $a=c+....$
Wie kannst du also [mm] $k_3\in\IZ$ [/mm] wählen, so dass [mm] $a\sim [/mm] c$
ist in (b) mit [mm] $\Delta$ [/mm] die symmetrische Differenz gemeint?
LG
schachuzipus
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Vielen Dank im voraus für die sehr hilfreichen Tipps!
In b) handelt es sich um eine symmetrische Differenz! Aber leider ist diese Aufgabe noch unübersichtlicher.
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Hallo jacques2303!
> Es soll untersucht werden, welche der folgenden Relationen
> ~ in der jeweiligen Menge M Äquivalenzrelationen sind:
>
> a) M := [mm]\IR[/mm] und + ist gegeben durch
> x~y : [mm]\gdw \exists[/mm] k [mm]\in \IZ[/mm] : x = y + [mm]2k\pi[/mm]
>
> b) M [mm]:=\mathcal{P} (\IR)[/mm] und ~ ist gegeben durch
> A~B : [mm]\gdw[/mm] |A [mm]\Delta[/mm] B| < [mm]\infty[/mm]
Zumindest die Reflexivität und die Symmetrie sind bei b) aber sehr einfach. Hast du dir unter der symmetrischen Differenz mal etwas vorgestellt? Es sind einfach die Elemente, die A und B nicht gemeinsam haben. Und wenn diese Anzahl an Elementen endlich sein soll, heißt das einfach, dass sie zwar unendliche viele Elemente gemeinsam haben können, aber sich nur durch endlich viele Elemente unterscheiden. Z. B. könnten beide Mengen alle geraden Zahlen enthalten (das sind ja unendlich viele), aber alles andere, was nur eine der beiden Mengen enthält, dürfen nur endlich viele Elemente sein.
Du kannst dir für Reflexivität und Symmetrie aber auch einfach die Definition von [mm] \Delta [/mm] hinschreiben, dann folgt es auch sofort.
Bei der Transitivität muss man wohl ein bisschen überlegen - im Moment ist es wohl zu spät, denn ich komme da gerade auf nichts...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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| Aufgabe | > a) M := $ [mm] \IR [/mm] $ und + ist gegeben durch
> x~y : $ [mm] \gdw \exists [/mm] $ k $ [mm] \in \IZ [/mm] $ : x = y + $ [mm] 2k\pi [/mm] $
>
> b) M $ [mm] :=\mathcal{P} (\IR) [/mm] $ und ~ ist gegeben durch
> A~B : $ [mm] \gdw [/mm] $ |A $ [mm] \Delta [/mm] $ B| < $ [mm] \infty [/mm] $ |
Vorab vielen Dank für eure Tipps!
zu a) reflexiv: Ich habe die Reflexivität bewiesen, indem ich ein Element k [mm] \in
[/mm]
[mm] \IZ [/mm] gefunden habe, dass wäre k=0. stimmt das so...ist damit die Reflexivität bewiesen?
symmetrisch:Hier habe ich ebenfalls versucht ein k' Element der ganzen Zahlen zu finden und bin auf k'=-1 gekommen.
transitiv: hier habe ich noch keinen Lösungsansatz finden können.
zu b)reflexiv : |A [mm] \Delta [/mm] A| = 0 < [mm] \infty [/mm] => A~A ???
symmetrisch: |A [mm] \Delta [/mm] B| = |A [mm] \setminus [/mm] B [mm] \cup [/mm] B [mm] \setminus [/mm] A| = |B [mm] \setminus [/mm] A [mm] \cup [/mm] A [mm] \setminus [/mm] B| = |B [mm] \Delta [/mm] A| < [mm] \infty [/mm] ???
transitiv: aus |A [mm] \Delta [/mm] B| < [mm] \infty [/mm] und |B [mm] \Delta [/mm] C| < [mm] \infty [/mm] müsste |A [mm] \Delta [/mm] B| < [mm] \infty [/mm] folgen....stimmt das so???
Und wenn ja...wie soll man das beweisen??? Kann man die Potenzmenge der Mengen M ausnutzen?
Wäre dankbar für weitere Tipps...
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Hallo miteinander...
irgendwie komme ich mit dem zweiten Teil der aufgabe nicht klar. Wäre wirklich dankbar für einen tipp bzw. eine Lösung, da die Aufgabe ziemlich wichtig für mich ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:56 Di 13.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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