Äquivalenzrelation < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:17 Sa 18.10.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | a) Geben Sie an, ob es sich bei der angegebenen Relation um eine Äquivalenzrelation handelt.
[mm] $\{(0,0),(1,1),(2,2), (3,3), (1,2), (2,1), (2,3), (3,2)\}\subset \{0,1,2,3\}\times\{0,1,2,3\}$ [/mm]
b)
Für eine binäre Relation [mm] $R\subseteq X\times [/mm] X$ definieren wir die Äquivalenzklasse eines Elementes [mm] $x\in [/mm] X$ als
[mm] $[x]:=\{y\in X| (y,x)\in R\}$
[/mm]
Zeigen Sie, dass alle Äquivalenzklassen [mm] $\{[x]|x\in X \}$ [/mm] eine Partition von X ist. |
Hi,
ich hätte eine Frage zu folgender Aufgabe.
Also Teil a) sollte ganz einfach gewesen sein. Offensichtlich ist die angegebene Relation reflexiv und symmetrisch. Allerdings ist sie nicht transitiv, da zwar
$(1,2)$ und [mm] $(2,3)\in [/mm] R$ aber [mm] $(1,3)\notin [/mm] R$.
Somit handelt es sich um keine Äquivalenzrelation.
zu b)
Ich finde die Aussage eigentlich relativ klar.
Seien [mm] $x_1, x_2\in [/mm] X$ mit [mm] $x_1\neq x_2 [/mm] beliebig.
Dann ist [mm] $[x_1]\neq [x_2]$, [/mm] weil die Elemente der Mengen offensichtlich nicht gleich sind, da sich die Tupel immer im zweiten Eintrag unterscheiden.
Mit [mm] $x_1, [/mm] ..., [mm] x_n\in [/mm] X$ ist die Aussage klar, dass
[mm] $\bigcup_{k=1}^n [x_i]=X\times [/mm] X$
Jedenfalls wenn X abzählbar viele Elemente enthält. Wenn [mm] $X=\mathbb{R}$ [/mm] ist beispielsweise, und damit überabzählbar kann man die Vereinigung dieser Äquivalenzklassen dann so einfach durchführen?
Konkret:
Um zu zeigen, dass die Menge aller Äquivalenzklassen eine Partition von X (muss es nicht eigentlich [mm] $X\times [/mm] X$ sein? Die Äquivalenzklassen enthalten ja Tupel) bilden muss ich zeigen, dass sie paarweise disjunkt sind und zusammen vereinigt [mm] $X\times [/mm] X$ (?) bilden.
Sein also [mm] $x_i, x_j\in [/mm] X$ beliebig mit [mm] $x_i\neq x_j$. [/mm]
Dann ist auch [mm] $[x_i]\neq [x_j]$, [/mm] wegen
[mm] $\{y\in X|(y,x_i)\in R}\neq \{y\in X|(y, x_j)\in R\}\Rightarrow [x_i]\cap [x_j]=\emptyset$
[/mm]
Denn die Tupel $(y, [mm] x_i)$ [/mm] und $(y, [mm] x_j)$ [/mm] sind genau dann gleich, wenn $y=y$ und [mm] $x_i=x_j$ [/mm] gilt. Es ist aber [mm] $x_i\neq x_j$ [/mm] angenommen.
Das für [mm] $x_1, [/mm] ... [mm] x_n\in [/mm] X$ dann
[mm] $\bigcup_{k=1}^n [x_k]=X\times [/mm] X$ gilt, klar.
Sollte ich das noch näher erläutern?
Liege ich damit überhaupt richtig, dass mit X eigentlich die Menge der Paare [mm] $X\times [/mm] X$ gemeint ist?
Vielen Dank.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:36 Sa 18.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> a) Geben Sie an, ob es sich bei der angegebenen Relation um
> eine Äquivalenzrelation handelt.
>
> [mm]\{(0,0),(1,1),(2,2), (3,3), (1,2), (2,1), (2,3), (3,2)\}\subset \{0,1,2,3\}\times\{0,1,2,3\}[/mm]
>
> b)
>
> Für eine binäre Relation [mm]R\subseteq X\times X[/mm] definieren
> wir die Äquivalenzklasse eines Elementes [mm]x\in X[/mm] als
>
> [mm][x]:=\{y\in X| (y,x)\in R\}[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass alle Äquivalenzklassen [mm]\{[x]|x\in X \}[/mm]
> eine Partition von X ist.
Wenn R irgend eine binäre Relation ist, so ist das i.a. nicht richtig.
Ist z.B. [mm] X=\{0,1\} [/mm] und [mm] R:=\{(0,0)\}, [/mm] so gibt es nur eine Klasse
[mm] [0]=\{0\}
[/mm]
Damit ist $ [mm] \{[x]| x\in X \}=\{0\} \ne [/mm] X $
Ich werde mich mit Deiner Lösung unten beschäftigen, wenn Du geklärt hast, ob R nicht noch zusätzliche Eigenschaften hat.
> Hi,
>
> ich hätte eine Frage zu folgender Aufgabe.
>
> Also Teil a) sollte ganz einfach gewesen sein.
> Offensichtlich ist die angegebene Relation reflexiv und
> symmetrisch. Allerdings ist sie nicht transitiv, da zwar
>
> [mm](1,2)[/mm] und [mm](2,3)\in R[/mm] aber [mm](1,3)\notin R[/mm].
>
> Somit handelt es sich um keine Äquivalenzrelation.
Ja
FRED
>
> zu b)
>
> Ich finde die Aussage eigentlich relativ klar.
>
> Seien [mm]$x_1, x_2\in[/mm] X$ mit [mm]$x_1\neq x_2[/mm] beliebig.
>
> Dann ist [mm][x_1]\neq [x_2][/mm], weil die Elemente der Mengen
> offensichtlich nicht gleich sind, da sich die Tupel immer
> im zweiten Eintrag unterscheiden.
>
> Mit [mm]x_1, ..., x_n\in X[/mm] ist die Aussage klar, dass
>
> [mm]\bigcup_{k=1}^n [x_i]=X\times X[/mm]
>
> Jedenfalls wenn X abzählbar viele Elemente enthält. Wenn
> [mm]X=\mathbb{R}[/mm] ist beispielsweise, und damit überabzählbar
> kann man die Vereinigung dieser Äquivalenzklassen dann so
> einfach durchführen?
>
> Konkret:
>
> Um zu zeigen, dass die Menge aller Äquivalenzklassen eine
> Partition von X (muss es nicht eigentlich [mm]X\times X[/mm] sein?
> Die Äquivalenzklassen enthalten ja Tupel) bilden muss ich
> zeigen, dass sie paarweise disjunkt sind und zusammen
> vereinigt [mm]X\times X[/mm] (?) bilden.
>
> Sein also [mm]x_i, x_j\in X[/mm] beliebig mit [mm]x_i\neq x_j[/mm].
>
> Dann ist auch [mm][x_i]\neq [x_j][/mm], wegen
>
> [mm]\{y\in X|(y,x_i)\in R}\neq \{y\in X|(y, x_j)\in R\}\Rightarrow [x_i]\cap [x_j]=\emptyset[/mm]
>
> Denn die Tupel [mm](y, x_i)[/mm] und [mm](y, x_j)[/mm] sind genau dann
> gleich, wenn [mm]y=y[/mm] und [mm]x_i=x_j[/mm] gilt. Es ist aber [mm]x_i\neq x_j[/mm]
> angenommen.
>
> Das für [mm]x_1, ... x_n\in X[/mm] dann
>
> [mm]\bigcup_{k=1}^n [x_k]=X\times X[/mm] gilt, klar.
>
> Sollte ich das noch näher erläutern?
>
> Liege ich damit überhaupt richtig, dass mit X eigentlich
> die Menge der Paare [mm]X\times X[/mm] gemeint ist?
>
> Vielen Dank.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:40 Sa 18.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich habe die Aufgabenstellung wortwörtlich übernommen. Über R sind keine weiteren Eigenschaften bekannt.
Mich machte es auch stutzig, dass R nur als irgendeine Relation angenommen ist und nicht als Äquivalenzrelation.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:22 Sa 18.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Fred!
> Wenn R irgend eine binäre Relation ist, so ist das i.a.
> nicht richtig.
>
> Ist z.B. [mm]X=\{0,1\}[/mm] und [mm]R:=\{(0,0)\},[/mm] so gibt es nur eine
> Klasse
>
> [mm][0]=\{0\}[/mm]
Nein, es gibt noch die Klasse [mm] $[1]=\emptyset$.
[/mm]
> Damit ist [mm]\{[x]| x\in X \}=\{0\} \ne X[/mm]
Das erste Gleichheitszeichen stimmt nicht.
(Aber das Gegenbeispiel an sich ist trotzdem korrekt.)
Übrigens gehe ich davon aus, dass der Aufgabensteller schlichtweg vergessen hat, $R$ als Äquivalenzrelation vorauszusetzen, aber genau diesen Fall meint.
Sonst macht aus meiner Sicht die Bezeichnung "Äquivalenzklasse" auch nicht viel Sinn...
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Sa 18.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Wenn wir annehmen, dass der Aufgabensteller Äquivalenzrelation meint, wäre dann mein Beweis im Ansatz korrekt?
Wie sieht es mit meiner Vermutung aus, dass [mm] $X\times [/mm] X$ anstelle von nur X gemeint ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:57 Sa 18.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wenn wir annehmen, dass der Aufgabensteller
> Äquivalenzrelation meint, wäre dann mein Beweis im Ansatz
> korrekt?
>
> Wie sieht es mit meiner Vermutung aus, dass [mm]X\times X[/mm]
> anstelle von nur X gemeint ist?
das macht keinen Sinn. Ist [mm] $R\,$ [/mm] eine ÄR auf [mm] $X\,,$ [/mm] d.h. insbesondere $R [mm] \subseteq [/mm] X [mm] \times X\,,$
[/mm]
dann ist
[mm] $X=\bigcup_{x \in X}[x],$
[/mm]
und diese Vereinigung ist eine disjunkte.
(edit: und bei dieser Vereinigung sind zwei Äquivalenzklassen entweder gleich
oder disjunkt!)
(Einen Beweis können wir hier selbst erarbeiten, d.h., Du versuchst Dich
daran, und ich [oder jemand anderes] unterstützen Dich - oder Du wirst
etwa einen Blick in "Bosch, Lineare Algebra".)
Dabei ist
$[x] [mm] \subseteq X\,,$
[/mm]
wie Du Dir bitte klar machen solltest.
Das, was Du geschrieben hast:
> Das für $ [mm] x_1, [/mm] ... [mm] x_n\in [/mm] X $ dann
> $ [mm] \bigcup_{k=1}^n [x_k]=X\times [/mm] X $ gilt, klar.
ist mir zum einen absolut unklar, denn warum soll die Menge der Äquivalenzklassen
endlich (das ist ja insbesondere auch abzählbar) sein.
Zum anderen: Rein aus der Definition:
[mm] $[x]:=\{\red{\,y\in X\,}| (y,x)\in R\} [/mm] $
ist doch schon $[x] [mm] \subseteq [/mm] X$ ersichtlich.
Vermutlich liest Du das falsch, etwa als
[mm] $[x]\red{\;=\;}\{(y,x) \in R \mid y \in X\}$
[/mm]
oder sowas - hier wäre $[x] [mm] \subseteq [/mm] X [mm] \times [/mm] X$ - aber das steht nun mal nicht
da!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:17 Sa 18.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Das es Probleme mit dem abzählbar und überabzählbar geben könnte, hatte ich bereits vermutet.
Nochmal zu $[x]$ ich glaube das ist mir immer noch nicht so ganz klar, weshalb es nun eine Teilmenge von X ist und nicht von [mm] $X\times [/mm] X$
Es ist ja:
[mm] $[x]:=\{y\in X|(y,x)\in R\}$
[/mm]
Oh, und mir fällt mein Denkfehler gerade glaube ich selber auf. Du hast absolut Recht, ich habe es falsch gelesen...
Diese Äquivalenzklasse enthält einfach alle y aus X, welche mit dem x der binären Äquivalenzrelation in Relation stehen.
Ok, ich denke das ist mir nun klar, was ich falsch gemacht habe.
Ich mache mal ein Beispiel:
[mm] $X=\{1,2\}$ [/mm] mit der Äquivalenzrelation:
[mm] $\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)\}\subseteq \{1,2\}\times \{1,2\}$
[/mm]
Hier würde es nun zwei Äquivalenzklassen geben.
[1] und [2]
Betrachte ich nun [1], dann suche ich alle Paare die im zweiten Eintrag eine 1 haben also von der Form (y, 1) sind. Das wären hier ja (1,1) und (2,1), also wäre [mm] $[1]=\{1,2\}$ [/mm] hmm, irgendwas muss ich dann immer noch falsch verstehen, denn für
[2] wäre es ja ebenso [mm] $[2]=\{1,2\}$
[/mm]
Aber vielleicht macht dieses Beispiel mein Verständnisproblem deutlich...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:15 So 19.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Yusul,
> Das es Probleme mit dem abzählbar und überabzählbar
> geben könnte, hatte ich bereits vermutet.
ich formuliere es mal umgekehrt: Wenn man dahingehend keine einschränkende
Voraussetzungen hat, muss man Argumente finden, wie man zu *abzählbar*
bzw. *endlich*gelangt.
> Nochmal zu [mm][x][/mm] ich glaube das ist mir immer noch nicht so
> ganz klar, weshalb es nun eine Teilmenge von X ist und
> nicht von [mm]X\times X[/mm]
>
> Es ist ja:
>
> [mm][x]:=\{y\in X|(y,x)\in R\}[/mm]
>
> Oh, und mir fällt mein Denkfehler gerade glaube ich selber
> auf. Du hast absolut Recht, ich habe es falsch gelesen...
>
> Diese Äquivalenzklasse enthält einfach alle y aus X,
> welche mit dem x der binären Äquivalenzrelation in
> Relation stehen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ok, ich denke das ist mir nun klar, was ich falsch gemacht
> habe.
>
> Ich mache mal ein Beispiel:
>
> [mm]X=\{1,2\}[/mm] mit der Äquivalenzrelation:
>
> [mm]\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)\}\subseteq \{1,2\}\times \{1,2\}[/mm]
Gerne - in der Tat ist das eine!
> Hier würde es nun zwei Äquivalenzklassen geben.
>
> [1] und [2]
> Betrachte ich nun [1], dann suche ich alle Paare die im
> zweiten Eintrag eine 1 haben also von der Form (y, 1) sind.
> Das wären hier ja (1,1) und (2,1), also wäre [mm][1]=\{1,2\}[/mm]
> hmm, irgendwas muss ich dann immer noch falsch verstehen,
> denn für
>
> [2] wäre es ja ebenso [mm][2]=\{1,2\}[/mm]
> Aber vielleicht macht dieses Beispiel mein
> Verständnisproblem deutlich...
Na, das es zwei Äquivalenzklassen gibt, heißt NICHT, dass es zwei verschiedene
geben muss. Zwei Äquivalenzklassen sind genau dann gleich, wenn sie
einen nichtleeren Schnitt haben.
Ich mach' es mal anders:
Sei
[mm] $[x]=\{y \in X \mid (y,x) \in R\}\,.$
[/mm]
(Dann gilt auch
[mm] $[x]=\{y \in X \mid (x,y) \in R\}\,.$)
[/mm]
Aus $y [mm] \in [/mm] [x]$ folgt dann schon
[mm] $[y]=[x]\,.$
[/mm]
Bei Dir oben ist etwa
$2 [mm] \in [1]\,,$
[/mm]
daher folgt
[mm] $[2]=[1]\,.$
[/mm]
Nebenbei: Kennst Du [mm] $\IZ/2\IZ$? [/mm] Das ist eine Menge, die genau aus zwei Äquivalenzklassen
besteht (d.h. insbesondere, dass die Äquivalenzklassen nicht leeren Schnitt
haben).
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:33 So 19.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Ja, der Körper [mm] $\mathbb{F}_2$ [/mm] bzw. [mm] $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ [/mm] ist mir bekannt.
Danke für die Erklärung, ja ein solcher Satz, dass Äquivalenzklassen gleich sind, wenn sie ein gleiches Element besitzen hatte ich vor kurzen in einem Buch gelesen.
Ob du mir glaubst oder nicht, bezüglich dieser Aufgabe kam er mir direkt in den Sinn und ich wollte den Satz nochmal nachgeguckt haben, aber dann vergessen...
Damit würde es aber relativ einfach werden, denn wenn zwei Äquivalenzklassen
[mm] $[x_i]$ [/mm] und [mm] $[x_j]$ [/mm] schon ungleich sind, dann bedeutet das ja gerade, dass [mm] $[x_i]\cap[x_j]=\emptyset$ [/mm] gilt. Das paarweise disjunkt ist also kein Problem.
Wäre noch das Problem mit der Vereinigung aller Äquivalenzklassen.
Um dann nochmal auf das Beispiel zurück zu kommen.
Wie würde hier die Vereinigung aussehen? Es ist [1]=[2]
Gilt damit auch bereits [x]=X für diese Relation.
Edit: Ich denke die letzte Frage hat sich mit deinem Edit erledigt. :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:09 So 19.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja, der Körper [mm]\mathbb{F}_2[/mm] bzw. [mm]\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[/mm]
> ist mir bekannt.
>
> Danke für die Erklärung, ja ein solcher Satz, dass
> Äquivalenzklassen gleich sind, wenn sie ein gleiches
> Element besitzen hatte ich vor kurzen in einem Buch
> gelesen.
> Ob du mir glaubst oder nicht, bezüglich dieser Aufgabe kam
> er mir direkt in den Sinn und ich wollte den Satz nochmal
> nachgeguckt haben, aber dann vergessen...
warum soll ich Dir nicht glauben?
> Damit würde es aber relativ einfach werden, denn wenn zwei
> Äquivalenzklassen
>
> [mm][x_i][/mm] und [mm][x_j][/mm] schon ungleich sind, dann bedeutet das ja
> gerade, dass [mm][x_i]\cap[x_j]=\emptyset[/mm] gilt. Das paarweise
> disjunkt ist also kein Problem.
>
> Wäre noch das Problem mit der Vereinigung aller
> Äquivalenzklassen.
>
> Um dann nochmal auf das Beispiel zurück zu kommen.
>
> Wie würde hier die Vereinigung aussehen? Es ist [1]=[2]
>
> Gilt damit auch bereits [x]=X für diese Relation.
>
> Edit: Ich denke die letzte Frage hat sich mit deinem Edit
> erledigt. :)
Ich denke schon. Zur Ergänzung: Bei der letzten ÄR ist
[mm] $\{1,\;2\}=[1] \cup [2]=[1]=[2]\,,$
[/mm]
wobei natürlich $[1] [mm] \cup [/mm] [2]$ KEINE disjunkte Vereinigung ist. 
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:30 So 19.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
> Wenn wir annehmen, dass der Aufgabensteller
> Äquivalenzrelation meint, wäre dann mein Beweis im Ansatz
> korrekt?
Leider nein. Siehe dazu meine andere Antwort.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:26 So 19.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Yusul!
Ich bin nicht sicher, was sich für dich in der Zwischenzeit schon alles geklärt hat.
Sicherheitshalber hier noch eine Korrektur deines Beweisversuches zu b) (unter der Annahme, dass $R$ eine Äquivalenzrelation ist):
> b)
>
> Für eine binäre Relation [mm]R\subseteq X\times X[/mm] definieren
> wir die Äquivalenzklasse eines Elementes [mm]x\in X[/mm] als
>
> [mm][x]:=\{y\in X| (y,x)\in R\}[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass alle Äquivalenzklassen [mm]\{[x]|x\in X \}[/mm]
> eine Partition von X ist.
> zu b)
>
> Ich finde die Aussage eigentlich relativ klar.
Ich ohne näheren Beweis nicht.
> Seien [mm]$x_1, x_2\in[/mm] X$ mit [mm]$x_1\neq x_2[/mm] beliebig.
>
> Dann ist [mm][x_1]\neq [x_2][/mm],
Im Allgemeinen nein.
> weil die Elemente der Mengen
> offensichtlich nicht gleich sind, da sich die Tupel immer
> im zweiten Eintrag unterscheiden.
Da scheint das von Marcel angesprochene Missverständnis der Definition der Äquivalenzklassen vorzuliegen.
> Mit [mm]x_1, ..., x_n\in X[/mm]
Meinst du [mm] $X=\{x_1,\ldots,x_n\}$?
[/mm]
> ist die Aussage klar, dass
>
> [mm]\bigcup_{k=1}^n [x_i]=X\times X[/mm]
Im Allgemeinen nein, es gilt im Falle [mm] $X=\{x_1,\ldots,x_n\}$ [/mm] vielmehr [mm] $\bigcup_{k=1}^n[x_k]=X$ [/mm] (Warum?).
> Jedenfalls wenn X abzählbar viele Elemente enthält.
Meinst du endlich statt abzählbar?
> Wenn
> [mm]X=\mathbb{R}[/mm] ist beispielsweise, und damit überabzählbar
> kann man die Vereinigung dieser Äquivalenzklassen dann so
> einfach durchführen?
Im Allgemeinen Fall kannst du z.B. [mm] $\bigcup_{x\in X}[x]=X$ [/mm] schreiben.
(Warum gilt das?)
> Konkret:
>
> Um zu zeigen, dass die Menge aller Äquivalenzklassen eine
> Partition von X (muss es nicht eigentlich [mm]X\times X[/mm] sein?
> Die Äquivalenzklassen enthalten ja Tupel) bilden muss ich
> zeigen, dass sie paarweise disjunkt sind und zusammen
> vereinigt [mm]X\times X[/mm] (?) bilden.
Wie Marcel dir ja erklärt hat: Es muss $X$, nicht [mm] $X\times [/mm] X$ heißen.
> Sein also [mm]x_i, x_j\in X[/mm] beliebig mit [mm]x_i\neq x_j[/mm].
>
> Dann ist auch [mm][x_i]\neq [x_j][/mm],
Im Allgemeinen nein.
> wegen
>
> [mm]\{y\in X|(y,x_i)\in R\}\neq \{y\in X|(y, x_j)\in R\}[/mm]
Das gilt im Allgemeinen nicht.
> [mm]\Rightarrow [x_i]\cap [x_j]=\emptyset[/mm]
Diese Folgerung ist unbegründet.
> Denn die Tupel [mm](y, x_i)[/mm] und [mm](y, x_j)[/mm] sind genau dann
> gleich, wenn [mm]y=y[/mm] und [mm]x_i=x_j[/mm] gilt.
Ja.
> Es ist aber [mm]x_i\neq x_j[/mm]
> angenommen.
Magst du mal eure genaue Definition einer Partition wörtlich posten?
Das würde sicherlich allen Antwortgebern helfen, dir genauer auf diese Definition abgestimmt zu antworten.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:02 So 19.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Eine Partition wurde bei uns nur "wörtlich" Definiert als paarweise disjunkte Mengen, deren Vereinigung wieder die Menge X ergibt.
Danke für deine Korrektur meines Beweises. Ich hatte einige Fehler darin schon selbst erkannt.
Ich werde nachher eine neue Fassung posten. :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:29 So 19.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
> Eine Partition wurde bei uns nur "wörtlich" Definiert als
> paarweise disjunkte Mengen, deren Vereinigung wieder die
> Menge X ergibt.
Das ist nicht wirklich die wörtliche Formulierung, oder?
Vielleicht lautet sie in etwa wie folgt:
Eine Partition einer Menge $X$ ist eine Menge $P$, deren sämtliche Elemente (nichtleere?) Teilmengen [mm] $A\subseteq [/mm] X$ sind, so dass gilt:
1. Die Elemente von $P$ sind paarweise disjunkt, d.h. [mm] $A\cap B=\emptyset$ [/mm] für alle [mm] $A,B\in [/mm] P$ mit [mm] $A\not=B$.
[/mm]
2. Die Vereinigung aller Elemente von $P$ ist ganz $X$, d.h. [mm] $\bigcup_{A\in P}A=X$.
[/mm]
Mit einer solchen expliziter ausgeschriebenen Definition lässt sich aus meiner Sicht besser arbeiten.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:46 So 19.10.2014 | | Autor: | YuSul |
"eine Partition von X ist, d.h. die Klassen sind paarweise disjunkt und ihre Vereinigung ergibt X"
So ist es formuliert.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 So 19.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich habe es nun überarbeitet:
Ich muss folgende zwei Dinge zeigen:
1) Die Äquivalenzklassen sind paarweise disjunkt
2) Die Vereinigung aller Äquivalenzklassen ist wieder die Menge X.
zu 1)
Seien [mm] $[x_i],[x_j]$ [/mm] zwei beliebige Äquivalenzklassen mit [mm] $[x_i]\neq [x_j]$.
[/mm]
Angenommen [mm] $[x_i]\cap[x_j]\neq\emptyset$. [/mm] Dann gibt es ein [mm] $y\in [x_i]$ [/mm] und [mm] $y\in[x_j]$.
[/mm]
Dies ist jedoch ein Widerspruch zu [mm] $[x_i]\neq[x_j]$, [/mm] da zwei Äquivlanzklassen schon dann gleich sind, wenn sie ein selbes Element enthalten.
zu 2)
Zu zeigen:
[mm] $\bigcup_{x\in X} [/mm] [x]=X$
Dies ist klar, da für alle [mm] $x\in [/mm] X [mm] \quad[x]$ [/mm] eine Äquivalenzklasse bildet.
Wäre das so in Ordnung?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:45 So 19.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
> Ich muss folgende zwei Dinge zeigen:
>
> 1) Die Äquivalenzklassen sind paarweise disjunkt
>
> 2) Die Vereinigung aller Äquivalenzklassen ist wieder die
> Menge X.
Genau.
> zu 1)
>
> Seien [mm][x_i],[x_j][/mm] zwei beliebige Äquivalenzklassen mit
> [mm][x_i]\neq [x_j][/mm].
>
> Angenommen [mm][x_i]\cap[x_j]\neq\emptyset[/mm]. Dann gibt es ein
> [mm]y\in [x_i][/mm] und [mm]y\in[x_j][/mm].
Du meinst: Dann gibt es ein [mm] $y\in[x_i]$, [/mm] das gleichzeitig [mm] $y\in[x_j]$ [/mm] erfüllt.
> Dies ist jedoch ein Widerspruch zu [mm][x_i]\neq[x_j][/mm], da zwei
> Äquivlanzklassen schon dann gleich sind, wenn sie ein
> selbes Element enthalten.
Wenn ihr diesen Zusammenhang schon bewiesen habt: .
> zu 2)
>
> Zu zeigen:
>
> [mm]\bigcup_{x\in X} [x]=X[/mm]
Ja.
> Dies ist klar, da für alle [mm]x\in X \quad[x][/mm] eine
> Äquivalenzklasse bildet.
Das erscheint mir zu verkürzt.
Vielleicht hast du korrekte Argumente im Kopf, aber sie nicht vollständig aufgeschrieben.
[mm] $\bigcup_{x\in X}[x]\subseteq [/mm] X$ folgt aus [mm] $[x]\subseteq [/mm] X$ für alle [mm] $x\in [/mm] X$, wobei [mm] $[x]\subseteq [/mm] X$ nach Definition von $[x]$ gilt.
Bleibt noch [mm] $\bigcup_{x\in X}[x]\supseteq [/mm] X$ zu begründen.
Sei also [mm] $y\in [/mm] X$.
Zu zeigen ist [mm] $y\in\bigcup_{x\in X}[x]$.
[/mm]
Die Idee besteht nun darin, [mm] $y\in[y]$ [/mm] zu zeigen.
Nach welcher Eigenschaft einer Äquivalenzrelation gilt dies?
Benutze dazu die Definition von $[y]$.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 So 19.10.2014 | | Autor: | YuSul |
[mm] $y\in [/mm] [y]$ gilt weil eine Äquivalenzrelation reflexiv ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:55 So 19.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
> [mm]y\in [y][/mm] gilt weil eine Äquivalenzrelation reflexiv ist.
Genau.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 So 19.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Sehr gut.
Damit wäre der Beweis erbracht.
Vielen Dank an alle beteiligten für die Hilfe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 So 19.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
> Sehr gut.
> Damit wäre der Beweis erbracht.
Genau.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:22 So 19.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
> "eine Partition von X ist, d.h. die Klassen sind paarweise
> disjunkt und ihre Vereinigung ergibt X"
>
> So ist es formuliert.
Da hat wohl jemand ein paar Wörter vergessen...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:29 So 19.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Wäre mein Beweis nun in Ordnung?
|
|
|
|
