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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 Mo 28.04.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Definiere [mm] $E\subset \mathbb{R}\times \mathbb{R}$ [/mm] durch: [mm] $(x,y)\in E\Leftrightarrow x-y\in\mathbb{Z}$ [/mm]
Zeige das $E$ eine Äquivalenzrelation ist. |
Hi,
hätte ich hier die Äquivalenzrelation richtig geprüft? Ich denke es hapert ein wenig an dem Aufschrieb.
Ich muss ja drei Dinge zeigen. Die Reflexivität, Symmetrie und Transitivität.
1. Reflexiv:
[mm] $(x,x)\in E\Leftrightarrow x-x=0\in\mathbb{Z}\checkmark$
[/mm]
2. Symmetrie:
[mm] $(x,y)\in E\Leftrightarrow x-y\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow y-x\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow (y,x)\in [/mm] E$
Wenn $x-y$ ein Element von Z ist, dann ist es auch das "negative" davon, also $-(x-y)=y-x$
Das wäre der Gedanke der hinter obiger Umformung steckt.
3. Transitivität:
Sei [mm] $(x,y)\in [/mm] E$ und [mm] $(y,z)\in [/mm] E$
Zu zeigen:
[mm] $(x,z)\in [/mm] E$
[mm] $(x,y)\in E\Leftrightarrow x-y\in \mathbb{Z}$
[/mm]
und
[mm] $(y,z)\in E\Leftrightarrow y-z\in \mathbb{Z}$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow$
[/mm]
[mm] $(x-y)+(y-z)\in\mathbb{Z}$ [/mm] da die ganzen Zahlen bezüglich der Addition abgeschlossen sind.
Also
[mm] $x-z\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow (x,z)\in [/mm] E$
Passt das so?
Ich denke inhaltlich kommt es hin, nur wahrscheinlich schreibe ich es unschön auf.
Über Anmerkungen würde ich mich freuen.
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:12 Mo 28.04.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Definiere [mm]E\subset \mathbb{R}\times \mathbb{R}[/mm] durch:
> [mm](x,y)\in E\Leftrightarrow x-y\in\mathbb{Z}[/mm]
>
> Zeige das [mm]E[/mm] eine Äquivalenzrelation ist.
> Hi,
>
> hätte ich hier die Äquivalenzrelation richtig geprüft?
> Ich denke es hapert ein wenig an dem Aufschrieb.
>
> Ich muss ja drei Dinge zeigen. Die Reflexivität, Symmetrie
> und Transitivität.
>
> 1. Reflexiv:
>
> [mm](x,x)\in E\Leftrightarrow x-x=0\in\mathbb{Z}\checkmark[/mm]
genau. Wenn Du es mal logisch 'detaillierter' sehen willst:
Sei $x [mm] \in \IR\,,$ [/mm] dann ist $(x,x) [mm] \in \IR \times \IR\,.$ [/mm] Wegen
$x-x=0 [mm] \in \IZ$ [/mm] und $(x,x) [mm] \in \IR \times \IR$
[/mm]
folgt dann
$(x,x) [mm] \in E\,.$
[/mm]
Da $x [mm] \in \IR$ [/mm] beliebig war, gilt für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] sodann
$(x,x) [mm] \in E\,.$
[/mm]
> 2. Symmetrie:
>
> [mm](x,y)\in E\Leftrightarrow x-y\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow y-x\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow (y,x)\in E[/mm]
Auch hier verschweigst Du ein kleines, aber nicht unwesentliches Detail:
Es ist
$(x,y) [mm] \in [/mm] E$
genau dann, wenn $(x-y) [mm] \in \IZ$ [/mm] und zudem $x [mm] \in \IR$ [/mm] und $y [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
(Beachte $E [mm] \subseteq \IR \times \IR\,.$)
[/mm]
Also der (etwas) 'sauberere' Aufschrieb:
Sei
$(x,y) [mm] \in E\,.$
[/mm]
Dann ist
$x,y [mm] \in \IR$ [/mm] (wegen $(x,y) [mm] \in \IR \times \IR$) [/mm] und $(x-y) [mm] \in \IZ\,.$
[/mm]
Aus
$(x-y) [mm] \in \IZ$
[/mm]
folgt auch
$-(x-y) [mm] \in \IZ\,,$
[/mm]
also
$(y-x) [mm] \in \IZ\,.$
[/mm]
Da folglich
$(y,x) [mm] \in \IR \times \IR$ [/mm] (es war ja $(x,y) [mm] \in \IR \times \IR$ [/mm] und damit $x,y [mm] \in \IR$)
[/mm]
und
$(y-x) [mm] \in \IZ$
[/mm]
gilt, folgt nun nach Definition von [mm] $E\,$ [/mm] sodann
$(y,x) [mm] \in E\,.$
[/mm]
Da $(x,y) [mm] \in [/mm] E$ beliebig war, folgt für alle $(x,y) [mm] \in [/mm] E$ auch $(y,x) [mm] \in E\,.$
[/mm]
> Wenn [mm]x-y[/mm] ein Element von Z ist, dann ist es auch das
> "negative" davon, also [mm]-(x-y)=y-x[/mm]
> Das wäre der Gedanke der hinter obiger Umformung steckt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 3. Transitivität:
>
> Sei [mm](x,y)\in E[/mm] und [mm](y,z)\in E[/mm]
Siehe oben, ergänzenswert: Dann folgt wegen
$(x,y) [mm] \in \IR \times \IR$ [/mm] und $(y,z) [mm] \in \IR \times \IR$
[/mm]
sodann
$x,y,z [mm] \in \IR\,,$
[/mm]
und damit insbesondere schon
$(x,z) [mm] \in \IR \times \IR\,.$
[/mm]
Es bleibt also noch, um...
> Zu zeigen:
dass
>
> [mm](x,z)\in E[/mm]
gilt:
> [mm](x,y)\in E\Leftrightarrow x-y\in \mathbb{Z}[/mm]
$(x-z) [mm] \in \IZ$
[/mm]
ist zu begründen!
Wir haben schon
$(x,z) [mm] \in \IR \times \IR$
[/mm]
gesehen und wissen
$x,y,z [mm] \in \IR$ [/mm] sowie $(x-y) [mm] \in \IZ$ [/mm] und $(y-z) [mm] \in \IZ$
[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow[/mm]
>
> [mm](x-y)+(y-z)\in\mathbb{Z}[/mm] da die ganzen Zahlen bezüglich
> der Addition abgeschlossen sind.
Ja, Du könntest es vielleicht noch etwas deutlicher machen:
Mit
[mm] $z_1:=x-y$ [/mm] und [mm] $z_2:=y-z$
[/mm]
folgt
[mm] $z_1,\;z_2 \in \IZ$
[/mm]
und daher auch (Deine Begründung!)
[mm] $z_1+z_2=...=x-z \in \IZ\,.$
[/mm]
> Also
>
> [mm]x-z\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow (x,z)\in E[/mm]
>
> Passt das so?
> Ich denke inhaltlich kommt es hin, nur wahrscheinlich
> schreibe ich es unschön auf.
> Über Anmerkungen würde ich mich freuen.
Es ist eigentlich okay - Du könntest es auch genauso, wie Du es geschrieben
hast, stehen lassen, wenn Du ganz am Anfang einmal kurz den Satz:
"Die folgendenen Aussagen/Umformungen gelten unter der ("globalen")
Zusatzbedingung
$x,y,z [mm] \in \IR\,,$
[/mm]
die ich nicht an jeder (passenden) Stelle nochmal separat erwähnen willl..."
oder ähnliches, dazuschreibst. Aber dessen solltest Du Dir schon bewußt
sein, strenggenommen gilt etwa:
$(x,y) [mm] \in [/mm] E$ [mm] $\iff$ ($\red{(x,y) \in \IR \times \IR}$ [/mm] und $(x-y) [mm] \in \IZ$) $\iff$ ($\red{x,y \in \IR}$ [/mm] und $(x-y) [mm] \in \IZ$).
[/mm]
Bei
$(x,y) [mm] \in [/mm] E$ [mm] $\iff$ $(x-y)\in \IZ$
[/mm]
"verschweigst" Du bei dem, so, wie Du es geschrieben hast, die rote
Information.
Aber die (ansonsten) wesentlicheren Überlegungen hast Du schon absolut
korrekt durchgeführt - aber, wie gesagt, mach' Dir bewußt, dass, wenn Du
die von mir genannten Ergänzungen nicht aufführst (oder sowas einmal
vorher "global" erwähnst), Du 'strenggenommen' an einigen Stellen eigtl.
nicht wirklich korrekt arbeitest (wobei ein Korrektor da sicher normalerweise
nicht allzuviel Punktabzüge machen sollte)!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:19 Mo 28.04.2014 | | Autor: | YuSul |
Wow. Vielen Dank für den ausfürhlichen Beitrag und die Mühe die du dir gemacht hast.
Ich werde deine Verbesserungen beherzigen und hoffentlich beim nächsten mal korrekt umsetzen.
Vielen Dank.
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