Äquivalenzklassen/Verknüpfung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:01 Mo 28.11.2005 | | Autor: | Smipsi |
Guten Abend allerseits,
folgende Aufgabe bereitet mir wirklich Probleme. Jegliche Art von Hilfe ist hochwillkommen.
Es bezeichne [mm] \cong [/mm] eine Äquivalenzrelation "modulo k" auf [mm] \IZ [/mm] . Auf der Menge der Äquivalenzklassen [mm] \IZ_{k} [/mm] = { [0], [1], ..., [k-1] }werden folgende Verknüpfungen definiert:
[x] [mm] \oplus [/mm] [y] = [ x + y ] und [x] [mm] \otimes [/mm] [y] = [ x * y ] (->Multiplikation). Zeigen Sie:
1. Für x1, x2, y1, y2 [mm] \in \IZ [/mm] mit x1 [mm] \cong [/mm] x2 und y1 [mm] \cong [/mm] y2 gilt: (x1 + y1) [mm] \cong [/mm] (x2 + y2) und x1y1 [mm] \cong [/mm] x2y2
2. [mm] \oplus [/mm] und [mm] \otimes [/mm] sind wohldefinierte Operationen auf [mm] \IZ_{k} [/mm] . D.h: Sind x1,x2,y1,y2 [mm] \in \IZ [/mm] mit [x1] = [x2] und [y1] = [y2] dann gilt: [x1] [mm] \oplus [/mm] [y1] = [x2] [mm] \oplus [/mm] [y2] und [x1] [mm] \otimes [/mm] [y1] = [x2] [mm] \otimes [/mm] [y2]
3. Für a,b [mm] \in \IZ_{k} [/mm] gilt (a [mm] \oplus [/mm] b) [mm] \in \IZ_{k} [/mm] und (a [mm] \otimes [/mm] b) [mm] \in \IZ_{k} [/mm]
4. Für a,b [mm] \in \IZ_{k} [/mm] gilt (a [mm] \oplus [/mm] b) = (b [mm] \oplus [/mm] a) und (a [mm] \otimes [/mm] b) = (b [mm] \otimes [/mm] a)
5. Für a,b,c [mm] \in \IZ_{k} [/mm] gilt (a [mm] \oplus [/mm] b) [mm] \oplus [/mm] c = a [mm] \oplus [/mm] (b [mm] \oplus [/mm] c) und (a [mm] \otimes [/mm] b) [mm] \otimes [/mm] c = a [mm] \otimes [/mm] (b [mm] \otimes [/mm] c)
6. Für a [mm] \in \IZ_{k} [/mm] gilt a [mm] \oplus [/mm] [0] = a und a [mm] \otimes [/mm] [1] = a
7. Für a,b,c [mm] \in \IZ_{k} [/mm] gilt: a [mm] \otimes [/mm] (b [mm] \oplus [/mm] c) = (a [mm] \otimes [/mm] b) [mm] \oplus [/mm] (a [mm] \otimes [/mm] c)
8. Zu jedem a [mm] \in \IZ_{k} [/mm] existiert ein eindeutiges Element -a [mm] \in \IZ_{k} [/mm] so daß gilt: a [mm] \oplus [/mm] (-a) = [0]
Mir wird vom Tippen schon schwindelig ... ^_^
Schon mal "Danke" im Voraus.
Eure,
Smipsi
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
![[]](/images/popup.gif) http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/44858,0.html
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> folgende Aufgabe bereitet mir wirklich Probleme. Jegliche
> Art von Hilfe ist hochwillkommen.
Hallo,
welche Probleme bereitet Dir die Aufgabe? Bei welcher der Teilaufgaben kommst Du nicht weiter? Was hast Du nicht verstanden?
So ins Blaue hinein kann ich Dir leider kaum helfen.
Lies Dir bitte die Forenregeln durch. Eigene Lösungsansätze oder konkrete fragen wollen wir hier schon sehen.
Gruß v. Angela
>
> Es bezeichne [mm]\cong[/mm] eine Äquivalenzrelation "modulo k" auf
> [mm]\IZ[/mm] . Auf der Menge der Äquivalenzklassen [mm]\IZ_{k}[/mm] = { [0],
> [1], ..., [k-1] }werden folgende Verknüpfungen definiert:
> [x] [mm]\oplus[/mm] [y] = [ x + y ] und [x] [mm]\otimes[/mm] [y] = [ x * y ]
> (->Multiplikation). Zeigen Sie:
>
> 1. Für x1, x2, y1, y2 [mm]\in \IZ[/mm] mit x1 [mm]\cong[/mm] x2 und y1
> [mm]\cong[/mm] y2 gilt: (x1 + y1) [mm]\cong[/mm] (x2 + y2) und x1y1 [mm]\cong[/mm]
> x2y2
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> 2. [mm]\oplus[/mm] und [mm]\otimes[/mm] sind wohldefinierte Operationen auf
> [mm]\IZ_{k}[/mm] . D.h: Sind x1,x2,y1,y2 [mm]\in \IZ[/mm] mit [x1] = [x2] und
> [y1] = [y2] dann gilt: [x1] [mm]\oplus[/mm] [y1] = [x2] [mm]\oplus[/mm] [y2]
> und [x1] [mm]\otimes[/mm] [y1] = [x2] [mm]\otimes[/mm] [y2]
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> 3. Für a,b [mm]\in \IZ_{k}[/mm] gilt (a [mm]\oplus[/mm] b) [mm]\in \IZ_{k}[/mm] und (a
> [mm]\otimes[/mm] b) [mm]\in \IZ_{k}[/mm]
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> 4. Für a,b [mm]\in \IZ_{k}[/mm] gilt (a [mm]\oplus[/mm] b) = (b [mm]\oplus[/mm] a) und
> (a [mm]\otimes[/mm] b) = (b [mm]\otimes[/mm] a)
>
> 5. Für a,b,c [mm]\in \IZ_{k}[/mm] gilt (a [mm]\oplus[/mm] b) [mm]\oplus[/mm] c = a
> [mm]\oplus[/mm] (b [mm]\oplus[/mm] c) und (a [mm]\otimes[/mm] b) [mm]\otimes[/mm] c = a [mm]\otimes[/mm]
> (b [mm]\otimes[/mm] c)
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> 6. Für a [mm]\in \IZ_{k}[/mm] gilt a [mm]\oplus[/mm] [0] = a und a [mm]\otimes[/mm]
> [1] = a
>
> 7. Für a,b,c [mm]\in \IZ_{k}[/mm] gilt: a [mm]\otimes[/mm] (b [mm]\oplus[/mm] c) = (a
> [mm]\otimes[/mm] b) [mm]\oplus[/mm] (a [mm]\otimes[/mm] c)
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> 8. Zu jedem a [mm]\in \IZ_{k}[/mm] existiert ein eindeutiges Element
> -a [mm]\in \IZ_{k}[/mm] so daß gilt: a [mm]\oplus[/mm] (-a) = [0]
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> Mir wird vom Tippen schon schwindelig ... ^_^
>
> Schon mal "Danke" im Voraus.
>
> Eure,
> Smipsi
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/44858,0.html
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