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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:07 Sa 21.02.2009 | | Autor: | vindzhov |
| Aufgabe | Gegeben sei eine nichtleere Menge M und paarweise disjunkte Teilmengen Mi, i [mm] \in [/mm] I von M.
Gibt es auf M eine Äquivalenzrelation so, dass die Äquivalenzklassen genau die Mi sind? |
Hallo!
Ich bin ein totaler Newbie in Diskrete Mathematik und ich habe keine Ahnung, ob meine Überlegungen richtig oder total falsch sind. Ich bitte um ihre Hilfe und Tipps. Danke im Voraus.
Hier meine Lösung:
Behauptung: Eine solche Äquivalenzrelations ist gegeben durch: x [mm] \sim [/mm] y [mm] \gdw [/mm] x,y [mm] \in [/mm] Мi
Beweis: Sei x [mm] \sim [/mm] y [mm] \gdw [/mm] x,y [mm] \in [/mm] Мi
(i) Seien x,y [mm] \in [/mm] Mi. Nach Annahme [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \sim [/mm] y
(ii) a) " [mm] \Rightarrow [/mm] " : Sei x [mm] \sim [/mm] y und x [mm] \in [/mm] Mi. Nach Annahme [mm] \Rightarrow [/mm] y [mm] \in [/mm] Mi
b) " [mm] \Leftarrow [/mm] " : Sei y [mm] \in [/mm] Mi. Nach Annahme [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \sim [/mm] y
Damit is Mi eine Äquivalenzklasse.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben sei eine nichtleere Menge M und paarweise disjunkte
> Teilmengen [mm] M_i, [/mm] i [mm]\in[/mm] I von M.
> Gibt es auf M eine Äquivalenzrelation so, dass die
> Äquivalenzklassen genau die Mi sind?
> Hallo!
> Ich bin ein totaler Newbie in Diskrete Mathematik und ich
> habe keine Ahnung, ob meine Überlegungen richtig oder total
> falsch sind. Ich bitte um ihre Hilfe und Tipps. Danke im
> Voraus.
>
> Hier meine Lösung:
>
> Behauptung: Eine solche Äquivalenzrelations ist gegeben
> durch: x [mm]\sim[/mm] y [mm]\gdw[/mm] x,y [mm]\in[/mm] Мi
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Deine Idee ist schon gut.
Genauer müßte es heißen: x [mm]\sim[/mm] y [mm]\gdw[/mm] Es gibt ein i mit [mm] x,y\in M_i. [/mm] (Wenn x,y also in derselben der disjunkten Teilemengen liegen.)
Es steht nun in Frage, ob die so definierte Relation eine Äquivalenzrelation ist. Wenn es Dir gelingt, dies nachzuweisen, dan nsind die [mm] M_i [/mm] die Äquivalenzklassen.
Zeigen mußt Du also, daß Dein [mm] \sim [/mm] die Eigenschaften einer Äquivalenzrelation hat.
Gruß v. Angela
> Beweis: Sei x [mm]\sim[/mm] y [mm]\gdw[/mm] x,y [mm]\in[/mm] Мi
> (i) Seien x,y [mm]\in[/mm] Mi. Nach Annahme [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\sim[/mm] y
> (ii) a) " [mm]\Rightarrow[/mm] " : Sei x [mm]\sim[/mm] y und x [mm]\in[/mm] Mi. Nach
> Annahme [mm]\Rightarrow[/mm] y [mm]\in[/mm] Mi
> b) " [mm]\Leftarrow[/mm] " : Sei y [mm]\in[/mm] Mi. Nach Annahme [mm]\Rightarrow[/mm]
> x [mm]\sim[/mm] y
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> Damit is Mi eine Äquivalenzklasse.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Mo 23.02.2009 | | Autor: | vindzhov |
Danke für die schnelle Antwort. Ich glaube, dass es weiter so geht:
Behauptung: [mm] \sim [/mm] is eine Äquivalenzrelation
Beweis:
(1) Reflexivität: sei x [mm] \in [/mm] Mi [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \sim [/mm] x
(2) Symmetrie: seien x,y [mm] \in [/mm] Mi. [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \sim [/mm] y und y [mm] \sim [/mm] x
(3) Transitivität: seien x,y,z [mm] \in [/mm] Mi [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \sim [/mm] y , y [mm] \sim [/mm] z und x [mm] \sim [/mm] z
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:04 Mo 23.02.2009 | | Autor: | pelzig |
Es gibt genau dann eine solche ÄR, wenn [mm] $\bigcup_i M_i=M$ [/mm] ist. Falls sie existiert, so ist sie eindeutig bestimmt (und gleich derjenigen, die du angegeben hast).
Dein Beweis ist falsch, da du immer [mm] $x,y,z\in M_i$ [/mm] voraussetzt, stattdessen müsstest du z.B. bei 1) zeigen [mm] $x\in M\Rightarrow x\sim [/mm] x$.
Gruß, Robert
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