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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:13 Sa 08.12.2007 | | Autor: | bine88 |
| Aufgabe | In [mm] \IZ [/mm] x [mm] \IZ [/mm] \ [mm] \{0\} [/mm] sei die Relation ~ definiert durch
[mm] (a_1,a_2)~(b_1,b_2) :\gdw a_1b_2=a_2b_1
[/mm]
Zeigen Sie, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt.
Bestimmen Sie die Äquivalenzklassen von (3,4) und (4,3), sowie [mm] (\overline{-12,-16}) [/mm] und [mm] (\overline{0,-7}). [/mm] Geben Sie jeweils 5 äquivalente Zahlenpaare an. |
Hey.
Also ich hab erstmal geschaut, ob die Relation eine Äquivalenzrelation ist, das war auch kein Problem, sie ist eine.
Dann: 5 äquivalente Zahlenpaare zu (3,4) und (4,3): (2,1)&(1,2) ; (-3,5)&(5,-3) ; (4,6)&(6,4) ; (7,2)&(2,7) ; (3,8)&(8,3) oder sind das zwei verschiedene Aufgabenteile, also einmal Äquivalenzklassen zu (3,4) und einmal zu (4,3), weil wenn ich das oben einsetz kommt da doch immer ein widerspruch heraus..
Und wie soll ich da eine Äquivalenzklasse bestimmen. Ich dachte bei einer Äquivalenzklasse kann ich mir eine Zahl aussuchen, zu denen der Rest, der zu der Klasse gehört dann äquivalent ist. Aber ich habe keine Ahnung, wie man das aufschreiben kann. In Worten würde ich sagen, dass das die Paare sind, wo die Komponenten vertauscht werden. (wenn das nicht schon falsch war)
Bei den Paaren [mm] (\overline{-12,-16}) [/mm] und [mm] (\overline{0,-7}) [/mm] weiß ich gar nicht, was gemeint sein soll. Weil wenn ein Strich über einer Relation steht bedeutet das ja, dass es die Komplementärrelation ist. Bedeutet das also, dass ich diese bilden muss und dann schauen muss welche Äquivalenzklasse die Paare bilden?
Vielen Danke schon mal im Vorraus für die Hilfe!
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> In [mm]\IZ[/mm] x [mm]\IZ[/mm] \ [mm]\{0\}[/mm] sei die Relation ~ definiert durch
> [mm](a_1,a_2)~(b_1,b_2) :\gdw a_1b_2=a_2b_1[/mm]
> Zeigen Sie, dass
> es sich um eine Äquivalenzrelation handelt.
> Bestimmen Sie die Äquivalenzklassen von (3,4) und (4,3),
> sowie [mm](\overline{-12,-16})[/mm] und [mm](\overline{0,-7}).[/mm] Geben Sie
> jeweils 5 äquivalente Zahlenpaare an.
> Dann: 5 äquivalente Zahlenpaare zu (3,4) und (4,3):
> (2,1)&(1,2) ; (-3,5)&(5,-3) ; (4,6)&(6,4) ; (7,2)&(2,7) ;
> (3,8)&(8,3) oder sind das zwei verschiedene Aufgabenteile,
> also einmal Äquivalenzklassen zu (3,4) und einmal zu (4,3),
> weil wenn ich das oben einsetz kommt da doch immer ein
> widerspruch heraus..
Hallo,
Du hast diesen Aufgabeteil ganz falsch verstanden:
Du sollst zu (3,4) fünf äquivalente Zahlenpaare angeben, und
Du sollst zu (4,3) fünf äquivalente Zahlenpaare angeben, und
Du sollst zu [mm] (\overline{-12,-16}) [/mm] fünf äquivalente Zahlenpaare angeben, und
Du sollst zu [mm] (\overline{0,-7}) [/mm] fünf äquivalente Zahlenpaare angeben.
Mach mal folgendes:
(3,4) [mm] \sim [/mm] (a,b) <==> .... <==> ... Da erfährst Du, wie die Paare (a,b) gemacht sein müssen.
>
> Und wie soll ich da eine Äquivalenzklasse bestimmen.
In der Äquivalenzklasse v. (3,4) sind sämtliche Zahlenpaare, die äquivalent sind zu (3,4).
> Bei den Paaren [mm](\overline{-12,-16})[/mm] und [mm](\overline{0,-7})[/mm]
> weiß ich gar nicht, was gemeint sein soll. Weil wenn ein
> Strich über einer Relation steht bedeutet das ja, dass es
> die Komplementärrelation ist.
Hierzu sag' ich lieber nichts, ich weiß nicht, wie das definiert ist.
Kannst Du die Def. von diesen "überstrichenen" Elementen angeben?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 Sa 08.12.2007 | | Autor: | bine88 |
Hey.
Ahhh, okay..
also müssten doch (6,8); (9,12); (12, 16); (15, 20) und (18, 24) z.B. äquivalent zu (3,4) sein, weil man ja aus [mm] a_1b_2=a_2b_1 [/mm] auch [mm] \bruch{a_1}{a_2}=\bruch{b_1}{b_2} [/mm] machen kann
und dann sind zu (4,3) doch (8,6); (12,9); (16,12); (15,20) und (24,18) äquivalent, oder?
Also ist eine Äquivalenzklasse (3,4) eine andere (4,3), oder?
Zu diesem überstrichenen Gedöns haben wir nur folgendes aufgeschrieben:
[mm] \overline{a} [/mm] := [mm] \{x \in A | x~a \} [/mm] heißt Äquivalenzklasse von A bezüglich ~ Jedes Element x [mm] \in \overline{a} [/mm] heißt eine Repräsentant der Äk [mm] \overline{a}
[/mm]
aber das hilft ja nicht wirklich weiter, oder? haben nirgends komplette Paare überstrichen. Kommt jetzt nur in der Übung vor.
aber vllt ist das einfach nur so gemeint, dass das die Äquivalenzrelation ist.
Ähm, ich hoffe, du kannst mit meinem Kauderwelsch was anfangen.. ;)
lg.
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> also müssten doch (6,8); (9,12); (12, 16); (15, 20) und
> (18, 24) z.B. äquivalent zu (3,4) sein,
Genau, jetzt hast Du es verstanden.
Und ich habe jetzt verstanden, was $ [mm] (\overline{-12,-16}) [/mm] $ ist: es ist die Äquivalenzklasse von (-12,-16) , nix mit komplementär oder kontemplativ...
Die zu (3,4) äquivalenten Elemente, die Du oben angibst, sind alle Elemente der Äquivalenzklasse von (3,4), also [mm] \in (\overline{3,4}) [/mm] .
Überlegen mußt Du Dir nun noch, wie Du die Äquivalenzklasse [mm] (\overline{3,4}) [/mm] "griffig" angibst.
Es ist [mm] (\overline{3,4}) :=\{ (a,b)\in \IRx\IR | (3,4) \sim (a,b)\}= \{ (a,b)\in \IRx\IR | ...\}
[/mm]
> weil man ja aus
> [mm]a_1b_2=a_2b_1[/mm] auch [mm]\bruch{a_1}{a_2}=\bruch{b_1}{b_2}[/mm] machen
> kann
> und dann sind zu (4,3) doch (8,6); (12,9); (16,12);
> (15,20) und (24,18) äquivalent, oder?
> Also ist eine Äquivalenzklasse (3,4) eine andere (4,3),
> oder?
Es sind Elemente dieser Äquivalenzklassen. s.o.
> Zu diesem überstrichenen Gedöns haben wir nur folgendes
> aufgeschrieben:
> [mm]\overline{a}[/mm] := [mm]\{x \in A | x~a \}[/mm] heißt Äquivalenzklasse
> von A
von klein a !!!
> bezüglich ~ Jedes Element x [mm]\in \overline{a}[/mm] heißt
> eine Repräsentant der Äk [mm]\overline{a}[/mm]
> aber das hilft ja nicht wirklich weiter, oder?
Doch! Ich hab's kapiert...
[mm] \overline{a} [/mm] ist die Äquivalenzklasse des Elementes a, sie enthaält alle zu a äquivalenten Elemente.
Nun ist Deine Aufgabe so, daß A [mm] =\IRx\IR [/mm] und folglich sind Deine Elemente Zahlenpaare.
Versuch jetzt mal Dein Glück mit dem Rest.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 Sa 08.12.2007 | | Autor: | bine88 |
Hey.
Also könnte ich für [mm] (\overline{3,4}) [/mm] schreiben: [mm] (\overline{3,4}) [/mm] := [mm] \{(a,b) \in \IZ | (3,4) \sim (a,b) \} [/mm] = [mm] \{(a,b) \in \IZ| \bruch{a}{b} = \bruch{3}{4} \}
[/mm]
und für [mm] (\overline{4,3}) [/mm] das ganze nur mit [mm] \bruch{4}{3}
[/mm]
wären dann zu [mm] (\overline{-12,-16}) [/mm] die geichen Paare äquivalent, wie zu [mm] (\overline{3,4}) [/mm] weil wenn ich das da einsetz komm ich ja wieder auf [mm] \bruch{3}{4}
[/mm]
--> [mm] (\overline{-12,-16}) [/mm] := [mm] \{(a,b) \in \IZ | (-12,-16) \sim (a,b) \} [/mm] = [mm] \{(a,b) \in \IZ| \bruch{a}{b} = \bruch{3}{4} \}
[/mm]
zu [mm] (\overline{0, -7}) [/mm] sind dann alle äquivalent, die als erste Komponente die 0 haben
--> [mm] (\overline{0,-7}) [/mm] := [mm] \{(a,b) \in \IZ | (0,-7) \sim (a,b) \} [/mm] = [mm] \{(a,b) \in \IZ| \bruch{a}{b} = 0 \}
[/mm]
Ich hoffe, dass das dann jetzt so richtig ist.. danke!
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Genau, jetzt stimmt's.
Gruß v. Angela
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