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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:29 So 23.07.2017 | | Autor: | sae0693 |
| Aufgabe | Es sei [mm] \IC [/mm] die Menge der komplexen Zahlen. Auf [mm] \IC \times \IC [/mm] sei die folgende Relation R definiert: [mm] z_{1}Rz_{2} \gdw |z_{1}|z_{2}.
[/mm]
a) Weisen Sie nach, dass R eine Äquivalenzrelation ist.
b) Bestimmen Sie die Äquivalenzklassen von R und geben Sie eine geometrische Beschreibung dieser Äquivalenzklassen in der Zahlenebene. |
a)
R ist reflexiv, weil (x,x) [mm] \in [/mm] R ist, da der Betrag aus [mm] z_{1} [/mm] = [mm] z_{2} [/mm] ist.
R ist symmetrisch, weil (x,y) [mm] \in [/mm] R und (y,x) [mm] \in [/mm] R sind. x und y sind hier identisch, demnach sind beide vorhanden.
R ist transitiv, weil (x,y) [mm] \in [/mm] R, (y,z) [mm] \in [/mm] R und (x,z) [mm] \in [/mm] R, da x = y = z.
Demnach ist R eine Äquivalenzrelation.
b)
Was bedeutet dies nun für die Äquivalenzklassen von R? Theoretisch habe ich ja unendlich viele Äquivalenzklassen, weil es unendlich viele komplexe Zahlen gibt, korrekt? Demnach hätte ich etwas wie:
[mm] [x_{i}] [/mm] = {x [mm] \in \IC [/mm] | [mm] x_{i} [/mm] ~ R y }
für alle - [mm] \infty [/mm] < x < [mm] \infty
[/mm]
Ist das falsch?
Zur geometrischen Beschreibung: Es würde sich eine diagonale durch den Punkt (0,0) eines Koordinatensystems bilden, welche von [mm] ]-\infty;\infty[ [/mm] geht. Oder?
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> Es sei [mm]\IC[/mm] die Menge der komplexen Zahlen. Auf [mm]\IC \times \IC[/mm]
> sei die folgende Relation R definiert: [mm]z_{1}Rz_{2} \gdw |z_{1}|z_{2}.[/mm]
Hallo,
sollte es so heißen:
Auf [mm]\IC \times \IC[/mm]
sei die folgende Relation R definiert:
[mm]z_{1}R z_{2} \gdw |z_{1}|=|z_{2}|.[/mm]
Es ist kein Fehler, sich hiermit zu beschäftigen, und wenn die Aufgabenstellung dann doch anders war, kommst Du damit dann vllt. sogar allein zurecht.
Es wird hier definiert, daß zwei komplexe Zahlen in Relation zueinander stehen, wenn ihre Beträge gleich sind.
Weißt Du, wie man komplexe Zahlen in die Gaußsche Zahlenebene einträgt?
z=4+3i wäre beim Punkt (4|3), der Betrag von z, also |z|=|4+3i| ist der Abstand von (4|3) vom Koordinatenursprung.
Wie groß ist er?
Wo liegen in der Gaußebene all die Zahlen, die denselben Betrag wie z haben?
Nehmen wir jetzt mal z=4+3i und z'=2+5i und schauen, ob zRz' oder anders geschrieben: ob [mm] (z,z')\in [/mm] R.
Es ist |z|=|4+3i|=5, es ist [mm] |z'|=|2+5i|=\wurzel{29}.
[/mm]
Also ist [mm] |z|\not=|z'| [/mm] und somit [mm] (z,z')\notin [/mm] R.
Kannst Du komplexe Zalen sagen, die in Relation zu z=4+3i stehen?
Nach diesen Überlegungen kann es losgehen.
>
> a) Weisen Sie nach, dass R eine Äquivalenzrelation ist.
> b) Bestimmen Sie die Äquivalenzklassen von R und geben
> Sie eine geometrische Beschreibung dieser
> Äquivalenzklassen in der Zahlenebene.
> a)
>
> R ist reflexiv, weil (x,x) [mm]\in[/mm] R ist, da der Betrag aus
> [mm]z_{1}[/mm] = [mm]z_{2}[/mm] ist.
Es stimmt, daß R reflexiv ist, aber Deine Begründung ist nicht nachvollziehbar.
So geht es:
Sei [mm] x\in \IC.
[/mm]
Dann ist [mm] (x,x)\in \IR, [/mm] denn es ist |x|=|x|.
Also ist R reflexiv.
> R ist symmetrisch, weil (x,y) [mm]\in[/mm] R und (y,x) [mm]\in[/mm] R sind.
> x und y sind hier identisch, demnach sind beide vorhanden.
Du mußt Dich bei der Argumentation an die Definitionen halten.
Für die Symmetrie ist zu prüfen, ob wenn [mm] (x,y)\in [/mm] R, zwangsläufig auch [mm] (y,x)\in [/mm] R gilt.
Seien [mm] x,y\in \IC [/mm] und [mm] (x,y)\in [/mm] R.
Dann ist |x|=|y| <==> |y|=|x| <==> ...
Also ...
> R ist transitiv, weil (x,y) [mm]\in[/mm] R, (y,z) [mm]\in[/mm] R und (x,z)
> [mm]\in[/mm] R, da x = y = z.
>
> Demnach ist R eine Äquivalenzrelation.
Seien [mm] x,y,z\in \IC [/mm] mit [mm] (x,y)\in [/mm] R und [mm] (y,z)\in [/mm] R.
Zu prüfen ist, ob damit zwangsläufig auch [mm] (x,z)\in [/mm] R.
[mm] (x,y)\in [/mm] R und [mm] (y,z)\in [/mm] R <==> ....
Also ist auch |x|=|z| <==> ...
Also ist R transitiv.
>
> b)
> Was bedeutet dies nun für die Äquivalenzklassen von R?
> Theoretisch habe ich ja unendlich viele Äquivalenzklassen,
> weil es unendlich viele komplexe Zahlen gibt, korrekt?
> Demnach hätte ich etwas wie:
>
> [mm][x_{i}][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {x [mm]\in \IC[/mm] | [mm]x_{i}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
~ R y }
> für alle - [mm]\infty[/mm] < x < [mm]\infty[/mm]
>
> Ist das falsch?
Es ist auf jeden Fall sehr schlampig.
Für jedes [mm] x\in \IC [/mm] ist die zugehörige Äquivalenzklasse durch [mm] [x]:=\{y\in \IC |xRy\} [/mm] beschrieben.
Die Frage ist nun: welche verschiedenen Äquivalenzklassen gibt es?
Vllt. kommst Du hiermit jetzt schon klar, nachdem Du Dich mit dem eingangs betrachteten Beispiel beschäftigt hast.
LG Angela
>
> Zur geometrischen Beschreibung: Es würde sich eine
> diagonale durch den Punkt (0,0) eines Koordinatensystems
> bilden, welche von [mm]]-\infty;\infty[[/mm] geht. Oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Di 25.07.2017 | | Autor: | sae0693 |
Ich hab das jetzt mal paar Tage sacken lassen, um zu prüfen, ob ich es nun verstanden habe.
Ist das so korrekt und ausreichend?
Reflexiv:
Sei x [mm] \in \IC, [/mm] dann ist (x,x) [mm] \in [/mm] R, da |x| = |x|
-> Reflexiv
Symmetrisch:
Sei x,y [mm] \in \IC, [/mm] (x,y) [mm] \in [/mm] R, weil|x| = |y| [mm] \gdw [/mm] |y| = |x| [mm] \gdw [/mm] (y,x) [mm] \in [/mm] R.
-> Symmetrisch
Transitiv:
Sei x,y,z [mm] \in \IC, [/mm] dann ist (x,y) [mm] \in [/mm] R, (y,z) [mm] \in [/mm] R, weil |x| = |y| [mm] \gdw [/mm] |y| = |z|.
Da |x| = |z|, ist (x,z) [mm] \in [/mm] R.
-> Transitiv
Zum Thema Äquivalenzklassen:
Der Betrag aus x bzw. y ist die Hypotenuse, also die Länge des Vektors. Das hilft mir - zumindest aus meiner Sicht - nicht wirklich weiter.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 Di 25.07.2017 | | Autor: | leduart |
Hallo sae
wo liegen denn z.B alle z die zu z=1 äquivalent sind, also |z|=1 oder zu z=2i also |z|=2
Gruß lula
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Di 25.07.2017 | | Autor: | sae0693 |
Genau gespiegelt.
z=1 -> z=-1 und so weiter..
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:28 Di 25.07.2017 | | Autor: | chrisno |
nicht nur spiegeln, sondern auch drehen ....
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:56 Mi 26.07.2017 | | Autor: | fred97 |
Isz [mm] $z_0 \in \IC$, [/mm] so bezeichne [mm] $[z_0]$ [/mm] die zu [mm] z_0 [/mm] geh. Äquivalenzklasse, also
[mm] $[z_0]=\{w \in \IC: wRz_0\}$.
[/mm]
Im Falle [mm] z_0=0 [/mm] ist [mm] [z_0]=\{w \in \IC: |w|=0\}=\{0\}.
[/mm]
Ist [mm] z_0 \ne [/mm] 0, so ist [mm] [z_0] [/mm] die Kreislinie um 0 mit Radius [mm] |z_0|.
[/mm]
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