Äquivalenzen Martingal < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:40 Mo 06.12.2010 | | Autor: | Bappi |
| Aufgabe | Hallo!
Die Aufgabe ist folgende:
Es seien [mm] $\xi_1,\xi_2,\xi_3,\cdots$ [/mm] unabhängige, nicht negative, Zufallsvariablen. Weiter sei [mm] $\mathcal F_n [/mm] = [mm] \sigma(\xi_1,\cdots,\xi_n)$ [/mm] und [mm] $\mathbb E\xi_j [/mm] =1 [mm] \quad \forall [/mm] j$. Wir setzen [mm] $M_0 [/mm] =1, [mm] M_n [/mm] = [mm] \xi_1\cdot\cdots\cdots \xi_n$
[/mm]
Gezeigt habe ich schon, dass [mm] $(M_n,\mathcal F_n)_n$ [/mm] ein Martingal ist und [mm] $M_\infty [/mm] = [mm] \lim_n M_n$ [/mm] f.s. existiert.
Nun sind noch folgende Äquivalenzen zu zeigen:
i. [mm] $\mathbb EM_\infty [/mm] = 1$
ii [mm] .$M_n \xrightarrow{L^1} M_\infty$
[/mm]
iii. [mm] $(M_n)_n$ [/mm] ist ggi |
Da [mm] $M_\infty$ [/mm] f.s. existiert, also insbesondere stochastich konvergent, und somit alle [mm] $\xi_j$ [/mm] in [mm] $L^1$ [/mm] sind, können wir den Satz von Vitali anwenden und damit ist $ii. [mm] \Longleftrightarrow [/mm] iii.$
Mein Problem ist die erste.
Meine Idee von $i. [mm] \Longrightarrow [/mm] ii.$ war:
Da [mm] $(M_n,\mathcal F_n)_n$ [/mm] ein MG, gilt [mm] $\mathbb EM_n [/mm] = [mm] \mathbb EM_1 [/mm] = [mm] \mathbb E\xi_1 [/mm] = 1$ und da nach Voraussetzung [mm] $\mathbb EM_\infty [/mm] = 1$
$0 = [mm] \mathbb E|M_n| - \mathbb E|M_\infty| [/mm] = [mm] \mathbb E(|M_n| [/mm] - [mm] |M_\infty|) \geq \mathbb E|M_n [/mm] - [mm] M_\infty$
[/mm]
und damit [mm] $\mathbb E|M_n [/mm] - [mm] M_\infty| \longrightarrow [/mm] 0$
Für den Weg auf i. fehlt mir jedoch noch die Idee.
Mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:01 Mi 08.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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