Äquivalenzbeweise m. Wurzeln.. < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie:
$ n,k [mm] \in [/mm] N$ so gilt: $ [mm] \wurzel[n]{k} \in [/mm] Q <=> k = [mm] m^n$ [/mm] mit$ m [mm] \in [/mm] N.$ |
Obige Äquivalenzgleichung gilt es zu beweisen.
Ich denke ich zeige einfach die beiden Richtungen:
"<="
Meine Vorüberlegungen:
[mm] $\wurzel[n]{k} [/mm] = [mm] k^{\frac{1}{n}})$
[/mm]
[mm] $(k^{1/n})^n [/mm] = k$
Ja, leider wars das schon.
Im Grunde sollte es doch ausreichend sein, auf beiden Seiten die "k-te Wurzel zu ziehen", dann steht ja das gewünschte da. Nur dann zu zeigen, dass es sich um ein ELement der rationalen Zahlen handelt.. ?
"=>"
Wieder nur wenige Ideen, nämlich:
da die n-te Wurzel aus k eine rationale Zahl ist, lässt sie sich darstellen:
[mm] $\wurzel[n]{k} [/mm] = p/q <=> n* [mm] (b^k) [/mm] = [mm] a^k [/mm] $ (ich potenziere beide Seiten mit dem Faktor n)
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Hallo,
> Zeigen Sie:
> [mm]n,k \in N[/mm] so gilt: [mm]\wurzel[n]{k} \in Q <=> k = m^n[/mm] mit[mm] m \in N.[/mm]
>
> Obige Äquivalenzgleichung gilt es zu beweisen.
>
> Ich denke ich zeige einfach die beiden Richtungen:
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> "<="
>
> Meine Vorüberlegungen:
> [mm]\wurzel[n]{k} = k^(\frac{1}{n}))[/mm]
> [mm](k^(1/n))^n = k[/mm]
>
> Ja, leider wars das schon.
>
> Im Grunde sollte es doch ausreichend sein, auf beiden
> Seiten die "k-te Wurzel zu ziehen", dann steht ja das
> gewünschte da. Nur dann zu zeigen, dass es sich um ein
> ELement der rationalen Zahlen handelt.. ?
Das hast du doch damit gezeigt!
Wenn du auf beiden Seiten der gegebenen Gleichung die $n$-te Wurzel ziehst, steht da:
[mm] $\sqrt[n]{k} [/mm] = m$.
Nach Voraussetzung ist [mm] $m\in\IN$, [/mm] und damit insbesondere [mm] $m\in \IQ$. [/mm] Also ist [mm] $\sqrt[n]{k}\in \IQ$.
[/mm]
> "=>"
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> Wieder nur wenige Ideen, nämlich:
>
> da die n-te Wurzel aus k eine rationale Zahl ist, lässt
> sie sich darstellen:
>
> [mm]\wurzel[n]{k} = p/q <=> n* (b^k) = a^k[/mm] (ich potenziere
> beide Seiten mit dem Faktor n)
Ich verstehe nicht, wie du auf die rechte Seite deiner Umformung kommst. Wenn du mit $n$ potenzierst, muss da doch auch "hoch n" stehen und nicht "hoch k" !
Außerdem sind plötzlich p und q verschwunden.
Dein Ansatz ist OK:
[mm] $\sqrt[n]{k} [/mm] = [mm] \frac{p}{q}$.
[/mm]
(Du kannst hier oBdA. davon ausgehen, dass der Bruch p/q vollständig gekürzt ist).
Nun auf beiden Seiten hoch n:
$k = [mm] \frac{p^{n}}{q^{n}}$
[/mm]
Nun musst du noch [mm] $k\in \IN$ [/mm] benutzen, daraus kannst du folgern: $q = 1$.
Viele Grüße,
Stefan
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Hallo und vielen Dank für die hilfreiche Antwort,
leider habe ich, und das tut mir sehr leid, mit zwei verschiedenen Aufgabenstellungen gearbeitet, bei denen eben die Variablen anders benannt sind, dadurch entstand das Wirrwar, das mir leider erst jetz aufgefallen ist..
Vielen Dank für dien Hinweis bzw. die Lösung, ist denkbar einfach 
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