Äquivalenz von Wegen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:25 Mo 01.12.2008 | | Autor: | grenife |
| Aufgabe | Durch [mm] $\gamma_1,\gamma_2:[0;2\pi]\to\mathbb{C}$, $\gamma_1(t)=e^{it}$, $\gamma_2(t)=e^{2it}$ [/mm] werden stetig differenzierbare Wege definiert. Zeigen Sie:
(1) [mm] $|\gamma_1|=|\gamma_2|$
[/mm]
(2) [mm] $\gamma_1$ [/mm] und [mm] $\gamma_2$ [/mm] sind nicht äquivalent.
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Hallo zusammen,
komme bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter. Habe versucht über die Periodizität der Sinus- und Kosinus-Funktionen die Gleicheit der Bilder von [mm] $\gamma_1$ [/mm] und [mm] $\gamma_2$ [/mm] zu zeigen, komme aber nicht wirklich weiter.
Bei (2) muss ich ja zeigen, dass es keine stetig differenzierbare Bijektion existiert, die die beiden Wege ineinander überführt. Aber wo setze ich da für den Beweis am besten an?
Vielen Dank für Eure Tipps und viele Grüße
Gregor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:47 Mo 01.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Durch [mm]\gamma_1,\gamma_2:[0;2\pi]\to\mathbb{C}[/mm],
> [mm]\gamma_1(t)=e^{it}[/mm], [mm]\gamma_2(t)=e^{2it}[/mm] werden stetig
> differenzierbare Wege definiert. Zeigen Sie:
>
> (1) [mm]|\gamma_1|=|\gamma_2|[/mm]
> (2) [mm]\gamma_1[/mm] und [mm]\gamma_2[/mm] sind nicht äquivalent.
>
>
> Hallo zusammen,
>
> komme bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter. Habe
> versucht über die Periodizität der Sinus- und
> Kosinus-Funktionen die Gleicheit der Bilder von [mm]\gamma_1[/mm]
> und [mm]\gamma_2[/mm] zu zeigen, komme aber nicht wirklich weiter.
>
> Bei (2) muss ich ja zeigen, dass es keine stetig
> differenzierbare Bijektion existiert, die die beiden Wege
> ineinander überführt. Aber wo setze ich da für den Beweis
> am besten an?
>
> Vielen Dank für Eure Tipps und viele Grüße
> Gregor
Angenommen, die beiden Wege wären äquivalent, dann würden auch die Weglängen übereinstimmen. Tun sie das ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 Mo 01.12.2008 | | Autor: | grenife |
Hi,
ich verstehe schon Deine Idee, nur leider kann ich sie formal nicht fassen. Der Kniff an den Wegen ist denke ich, dass dieselben Werte von den Wegen unterschiedlich oft durchlaufen werden, demnach die Träger gleich sind, die Wege aber nicht äquivalent sind.
Weglängen haben wir nicht explizit betrachtet, meinst Du damit [mm] $\int_0^{2\pi}\sqrt{1+(\gamma_k'(x))^2}dx$ [/mm] ? Oder kann ich die Weglänge noch einfacher bestimmen?
Vielen Dank für Deine Hilfe und viele Grüße
Gregor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 Mo 01.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
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> ich verstehe schon Deine Idee, nur leider kann ich sie
> formal nicht fassen. Der Kniff an den Wegen ist denke ich,
> dass dieselben Werte von den Wegen unterschiedlich oft
> durchlaufen werden, demnach die Träger gleich sind, die
> Wege aber nicht äquivalent sind.
>
> Weglängen haben wir nicht explizit betrachtet, meinst Du
> damit [mm]\int_0^{2\pi}\sqrt{1+(\gamma_k'(x))^2}dx[/mm] ?
Das ist falsch! Die weglänge ist gegeben durch:
[mm]\int_0^{2\pi}|\gamma_k'(t)|dt[/mm]
Nun rechne mal
FRED
>Oder kann
> ich die Weglänge noch einfacher bestimmen?
>
> Vielen Dank für Deine Hilfe und viele Grüße
> Gregor
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