Äquivalenz von Normen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 Fr 05.05.2006 | | Autor: | Gero |
| Aufgabe | Zeige, dass auf dem Vektorraum P aller Polynome mit komplexen Koeffizienten durch
[mm] \parallel [/mm] p [mm] \parallel_1 [/mm] := [mm] sup_{x \in [0,2]} [/mm] |p(x)|
[mm] \parallel [/mm] p [mm] \parallel_2 [/mm] := [mm] \summe_{k=0}^{n} |a_k|, [/mm] wobei p(x) = [mm] \summe_{k=0}^{n} a_k x^k
[/mm]
zwei Normen definiert werden, die nicht vergleichbar sind.
(Hinweis: Betrachte [mm] p_n(x) [/mm] := [mm] x^n [/mm] sowie [mm] q_n(x) [/mm] := [mm] (1-x)^n) [/mm] |
Hi @ all,
hab da nochmal ne Aufgabe, die mir Probleme bereitet. Doch diesmal hab ich nichteinmal ne Idee, wie ich da dran soll. Vor allem der Hinweis irretiert mich etwas. Normalerwiese hätte ich erstmal angefangen die Normaxiome nachzuweisen. Aber wie dann weiter?
Kann mir vielleicht jemand helfen?
Danke schonmal im voraus!
Liebe Grüße
Gero
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:34 Fr 05.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Gero!
> Zeige, dass auf dem Vektorraum P aller Polynome mit
> komplexen Koeffizienten durch
> [mm]\parallel[/mm] p [mm]\parallel_1[/mm] := [mm]sup_{x \in [0,2]}[/mm] |p(x)|
> [mm]\parallel[/mm] p [mm]\parallel_2[/mm] := [mm]\summe_{k=0}^{n} |a_k|,[/mm]
> wobei p(x) = [mm]\summe_{k=0}^{n} a_k x^k[/mm]
> zwei Normen
> definiert werden, die nicht vergleichbar sind.
> (Hinweis: Betrachte [mm]p_n(x)[/mm] := [mm]x^n[/mm] sowie [mm]q_n(x)[/mm] :=
> [mm](1-x)^n)[/mm]
> Hi @ all,
>
> hab da nochmal ne Aufgabe, die mir Probleme bereitet. Doch
> diesmal hab ich nichteinmal ne Idee, wie ich da dran soll.
> Vor allem der Hinweis irretiert mich etwas. Normalerwiese
> hätte ich erstmal angefangen die Normaxiome nachzuweisen.
> Aber wie dann weiter?
Der Hinweis ist fuer die Nicht-Aequivalenz. Zuerst rechnest du die Normaxiome nach, das ist schon richtig so. (Bei der ersten Norm denk an den Identitaetssatz fuer Polynome, bzw. daran dass ein Polynom $n$-ten Grades hoechstens $n$ Nullstellen hat.)
Wenn du damit fertig bist, schau dir mal fuer die Polynome [mm] $p_n$ [/mm] und [mm] $q_n$ [/mm] die Normen an. Berechne [mm] $\norm p_n \norm_1$, $\norm p_n \norm_2$, $\norm q_n \norm_1$, [/mm] und finde eine untere Schranke fuer [mm] $\norm q_n \norm_2$ [/mm] (die fuer $n [mm] \to \infty$ [/mm] auch gegen [mm] $\infty$ [/mm] geht).
So. Weisst du, was es bedeutet, das zwei Normen aequivalent sind? Wenn nein, schau die Definition nach. Wenn du es weisst, schau dir diese Beispiele an (Normen von [mm] $p_n, q_n$) [/mm] und denk drueber nach was dir das wohl sagen soll 
LG Felix
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