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Forum "Mengenlehre" - Äquivalenz von Mengen beweisen
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Äquivalenz von Mengen beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:52 Mo 22.10.2007
Autor: unR34L

Aufgabe
Zeigen Sie, dass für beliebige Mengen A, B, C gilt:

A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C) = (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Ich habe die Aufgabe verstanden und auch schon einen Lösungsansatz, weiß nur nicht ob dieser korrekt bzw. ausreichend ist.

Wenn beides dieselbe Menge bezeichnen soll,
muss  A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C)  [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C) sein und umgekehrt.

1. Zu zeigen: A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C) [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)

    1. Fall: d [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] d [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] d [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)
    2. Fall: d [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] d [mm] \in [/mm] C [mm] \Rightarrow [/mm] d [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)

[mm] \Rightarrow [/mm] d [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \vee [/mm] d [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)
[mm] \Rightarrow [/mm] d [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)

2. Zu zeigen: (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C) [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C)

    d [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] d [mm] \in [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C)

[mm] \Rightarrow [/mm] d [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C)

Alles richtig ? :)
        
Bezug
Äquivalenz von Mengen beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:37 Mo 22.10.2007
Autor: angela.h.b.


> Zeigen Sie, dass für beliebige Mengen A, B, C gilt:
>  
> A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C) = (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C)
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Ich habe die Aufgabe verstanden und auch schon einen
> Lösungsansatz, weiß nur nicht ob dieser korrekt bzw.
> ausreichend ist.
>  
> Wenn beides dieselbe Menge bezeichnen soll,
> muss  A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C)  [mm]\subseteq[/mm] (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] (A [mm]\cap[/mm]
> C) sein und umgekehrt.

Hallo,

[willkommenmr].

Daß Du verstanden hast, daß die Mengengleichheit zwei Teilmengenbeziehungen beinhaltet, ist schonmal gut.

>  
> 1. Zu zeigen: A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C) [mm]\subseteq[/mm] (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm]
> (A [mm]\cap[/mm] C)
>  
> 1. Fall: d [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] d [mm]\in[/mm] B [mm]\Rightarrow[/mm] d [mm]\in[/mm] (A [mm]\cap[/mm]
> B)
>      2. Fall: d [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] d [mm]\in[/mm] C [mm]\Rightarrow[/mm] d [mm]\in[/mm] (A
> [mm]\cap[/mm] C)
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm] d [mm]\in[/mm] (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\vee[/mm] d [mm]\in[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C)
>  [mm]\Rightarrow[/mm] d [mm]\in[/mm] (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C)


Ebenso ist Dein Beweis zu 1. richtig, ich glaube schon, daß er so durchgeht, und es gefällt mir, daß Du am Anfang schreibst, was zu zeigen ist.

Ich selbst hätte ihn ohne die Unterteilung in zwei Fälle gemacht, also einzeilig durchgezogen. Ich zeig Dir, wie ich's meine, beachte jeweils die kleinen Begründungen:

1. Zu zeigen: A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C) [mm]\subseteq[/mm] (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C)

Sei [mm] d\in [/mm] A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C)    

==> [mm] d\in [/mm] A und [mm] d\in [/mm] (B [mm]\cup[/mm] C)        (nach Def. des Schnittes)

==> [mm] d\in [/mm] A und [mm] (d\in [/mm] B oder [mm] d\in [/mm] C)       (Def. Vereinigung)

==> [mm] (d\in [/mm] A und [mm] d\in [/mm] B) oder [mm] (d\in [/mm] A und [mm] d\in [/mm] C)        (Distibutivgesetz)

==> [mm] d\in (A\cap [/mm] B) oder [mm] d\in (A\cap [/mm] C)     (Def. d. Schnittes)

==> [mm] d\in (A\cap [/mm] B) [mm] \cup (A\cap [/mm] C)     (Def. Vereinigung)


>  
> 2. Zu zeigen: (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C) [mm]\subseteq[/mm] A [mm]\cap[/mm]
> (B [mm]\cup[/mm] C)
>  
> d [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] d [mm]\in[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C)
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm] d [mm]\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C)
>  
> Alles richtig ? :)

2. geht so noch nicht.

Starte mit

sei

[mm] d\in [/mm]  (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C)

==> [mm] d\in [/mm] (A [mm]\cap[/mm] B) oder [mm] d\in [/mm] (A [mm]\cap[/mm] C)       (Def. Vereinigung)

==> ...


Gruß v. Angela
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