Äquivalenz von Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:22 Fr 26.05.2006 | | Autor: | Jan85 |
| Aufgabe | Seien A,A` Element aus (nxn,K)
Beweisen Sie:
1.) A Element aus GL(n,K) und A~A` => A`Element aus GL (n,K)
2.) A,A`Element aus GL (n,K) => A~A` |
Hallo,
kann mir vielleicht jemand bei den beiden Beweisen helfen. Ich stehe gerade auf dem Schlauch und habe keine Idee, wie die Aufgabe gehen könnte
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
danke für eure Hilfe
Jan
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 Fr 26.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Jan!
> Seien A,A' Element aus (nxn,K)
> Beweisen Sie:
> 1.) A Element aus GL(n,K) und A~A' => A'Element aus GL
> (n,K)
> 2.) A,A'Element aus GL (n,K) => A~A'
Schreib doch mal hier hin, wass [mm] $\sim$ [/mm] bedeuten soll. Also wann fuer zwei Matrizen $A, A'$ gilt $A [mm] \sim [/mm] A'$.
Zu 1.) brauchst du, dass das Produkt von invertierbaren Matrizen wieder invertierbar ist, und ebenfalls das Inverse einer invertierbaren Matrix wieder invertierbar ist.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Fr 26.05.2006 | | Autor: | Jan85 |
hallo felix
danke für deine antwort
A~A`bedeutet dass A und A`äquivalent sind.
Das hat doch nichts mit dem Produkt zu tun, oder?
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:36 Fr 26.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> danke für deine antwort
>
> A~A'bedeutet dass A und A'äquivalent sind.
Und was bedeutet ``aequivalent''? Schreib das doch mal explizit hin.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:12 Sa 27.05.2006 | | Autor: | Jan85 |
~beschreibt lediglich die Relationseigenschaft
ist z.B (x,y) Element einer Relation, so ist x~y
~ kann z.B für "<" oder ">" usw stehen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:34 Sa 27.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Jan!
> ~beschreibt lediglich die Relationseigenschaft
>
> ist z.B (x,y) Element einer Relation, so ist x~y
> ~ kann z.B für "<" oder ">" usw stehen
Mir ist schon klar was eine Aequivalenzrelation ist oder eine Relation. Ich wuerde gerne wissen, welche Relation du hier meinst, wenn du von ~ redest. Irgendwie ist ja sicher ~ fuer Matrizen definiert.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 So 28.05.2006 | | Autor: | Jan85 |
ups ok ich hab die definition vergessen:
[mm] \exists [/mm] A=Z.A'.S
(Z Element GL(m,K) ; S Element GL (n,K) )
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:50 So 28.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Jan!
> ups ok ich hab die definition vergessen:
>
> [mm]\exists[/mm] A=Z.A'.S
> (Z Element GL(m,K) ; S Element GL (n,K) )
So. Zurueck zur Aufgabe.
Wenn $A [mm] \sim [/mm] A'$ ist gibt es also invertierbare Matrizen $Z$ und $S$ mit $A = Z A' S$. Nach Voraussetzung ist $A$ invertierbar. Nun ist $A' = [mm] Z^{-1} [/mm] A [mm] S^{-1}$, [/mm] und [mm] $Z^{-1}$, [/mm] $A$ und [mm] $S^{-1}$ [/mm] sind invertierbar. Also...?
Zur zweiten Aufgabe: Du weisst, dass $A$ und $A'$ invertierbar sind. Nun musst du $Z, S$ angeben so, dass $A = Z A' S$ ist. Probier doch mal [mm] $(A')^{-1}$ [/mm] und $A$ da einzusetzen...
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 So 28.05.2006 | | Autor: | Jan85 |
zum 1.Teil:
Also wenn A'= [mm] Z^{-1} [/mm] . [mm] A.S^{-1} [/mm] folgt nach den gegebenen vorraussetzungen, dass A'invertierbar sein muss?
ist das shcon mein beweis?
zu 2. Teil:
Also A' ^{-1} wäre ( [mm] Z^{-1} [/mm] . [mm] A.S^{-1} )^{-1} [/mm] und damit komme ich wieder auf meine Definition von A~A`
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:55 Mo 29.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Jan!
> zum 1.Teil:
> Also wenn A'= [mm]Z^{-1}[/mm] . [mm]A.S^{-1}[/mm] folgt nach den gegebenen
> vorraussetzungen, dass A'invertierbar sein muss?
> ist das shcon mein beweis?
Kann man so sehen.
> zu 2. Teil:
>
> Also A' ^{-1} wäre ( [mm]Z^{-1}[/mm] . [mm]A.S^{-1} )^{-1}[/mm] und damit
> komme ich wieder auf meine Definition von A~A'
Du musst dir fuer $Z$ und $S$ Elemente waehlen, die nur von $A$ und $A'$ abhaengen (und von [mm] $A^{-1}$ [/mm] und [mm] $(A')^{-1}$) [/mm] , und so das wenn du sie einsetzt gerade $A = Z A' S$ gilt.
Versuch doch z.B. $S = [mm] (A')^{-1}$. [/mm] Dann ist $Z A' S = Z A' [mm] (A')^{-1} [/mm] = Z$. Was waer jetzt eine gute Wahl fuer $Z$?
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 So 28.05.2006 | | Autor: | Jan85 |
ich glaube ich habe den ersten teil raus
habe det (A) soweit ausgerechnet bis det (A) = det (A`) da steht---> und det (A) ist laut vorausetzung ungleich 0, also muss det(A`) ungleich 0 sein
hm jetzt hänge ich nur noch an der aufgabe c...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:53 Mo 29.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Jan!
> ich glaube ich habe den ersten teil raus
>
> habe det (A) soweit ausgerechnet bis det (A) = det (A') da
> steht---> und det (A) ist laut vorausetzung ungleich 0,
> also muss det(A') ungleich 0 sein
Das stimmt so nicht, im Allgemeinein ist [mm] $\det(A) \neq \det(A')$. [/mm] Das sie beide ungleich $0$ sind stimmt schon, aber gleich sind sie halt i.A. nicht...
Schreib doch mal auf wie du das gerechnet hast.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:09 Mo 29.05.2006 | | Autor: | Jan85 |
det(A) = [mm] det(s^{-1} [/mm] . A`. S)
det (A) = [mm] det(s^{-1}) [/mm] . det (A`) . det (S)
det (A) = 1/(det (S)) . det (A`) . det(S)
det (A) = det (A`)
noch ne idee:
det (A) = [mm] det(s^{-1}) [/mm] . det (A`) . det (S)
[mm] S^{-1} [/mm] . S = En
damit gilt für die determinante der inversen matrix det [mm] (s^{-1}) [/mm] = det (S)
=> det (A) = det (A`)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:11 Mo 29.05.2006 | | Autor: | Jan85 |
der misslungene ausdruck soll heißen:
det [mm] (S^{-1}) [/mm] = det (S)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:31 Mo 29.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> det(A) = [mm]det(s^{-1}[/mm] . A'. S)
Wie kommst du dadrauf, dass $Z = [mm] S^{-1}$ [/mm] ist? Oder sollte $Z$ schon immer [mm] $S^{-1}$ [/mm] sein?!
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 Mi 31.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
