Äquivalenz von Gleichungen < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Für [mm] \(x, \lambda \in H\) [/mm] und [mm] \(c>0\) [/mm] definieren wir die Funktion [mm] \(\varphi_c(x,\lambda)\) [/mm] mit
[mm] \varphi_c(x,\lambda)=inf\{\varphi(x-u)+<\lambda, u>+\frac{c}{2}|u|^2\} [/mm] für [mm] u\in [/mm] H
zeigen Sie, das diese Gleichung äquivalent ist zu
[mm] \varphi_c(x,\lambda)=\inf_{v\in H}\{\varphi(v)+\frac{c}{2}|x+c^{-1}\lambda-v|^2\}-\frac{1}{2c}|\lambda|^2,
[/mm]
wobei v=x-u ist. |
hey,
ich versuche die äquivalenz zu zeigen, habe so angefangen
[mm] \varphi(x-u)+<\lambda, u>+\frac{c}{2}|u|^2
[/mm]
[mm] =\varphi(v)+<\lambda, x-v>+\frac{c}{2}|(x-v)|^2
[/mm]
[mm] =\varphi(v)+<\lambda, x-v>+\frac{c}{2}
[/mm]
[mm] =\varphi(v)+<\lambda+\frac{c}{2}x-v,x-v>
[/mm]
[mm] =\varphi(v)+\frac{c}{2}<\frac{2\lambda}{c}+x-v,x-v>
[/mm]
das sieht ja schon mal fast gut aus, aber wie kann ich nun weitermachen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 Mo 16.07.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo Kinghenni,
> Für [mm]\(x, \lambda \in H\)[/mm] und [mm]\(c>0\)[/mm] definieren wir die
> Funktion [mm]\(\varphi_c(x,\lambda)\)[/mm] mit
>
> [mm]\varphi_c(x,\lambda)=inf\{\varphi(x-u)+<\lambda, u>+\frac{c}{2}|u|^2\}[/mm]
> für [mm]u\in[/mm] H
> zeigen Sie, das diese Gleichung äquivalent ist zu
> [mm]\varphi_c(x,\lambda)=\inf_{v\in H}\{\varphi(v)+\frac{c}{2}|x+c^{-1}\lambda-v|^2\}-\frac{1}{2c}|\lambda|^2,[/mm]
>
> wobei v=x-u ist.
> hey,
> ich versuche die äquivalenz zu zeigen, habe so
> angefangen
> [mm]\varphi(x-u)+<\lambda, u>+\frac{c}{2}|u|^2[/mm]
>
> [mm]=\varphi(v)+<\lambda, x-v>+\frac{c}{2}|(x-v)|^2[/mm]
>
> [mm]=\varphi(v)+<\lambda, x-v>+\frac{c}{2}[/mm]
>
> [mm]=\varphi(v)+<\lambda+\frac{c}{2}x-v,x-v>[/mm]
> [mm]=\varphi(v)+\frac{c}{2}<\frac{2\lambda}{c}+x-v,x-v>[/mm]
> das sieht ja schon mal fast gut aus, aber wie kann ich nun
> weitermachen?
schreibe das Skalarprodukt folgendermaßen um:
[mm]\frac{c}{2}\left \langle \frac{2\lambda}{c}+x-v ,\ x-v\right\rangle=\frac{c}{2}\left\langle \blue{x+\frac{\lambda}{c}-v}+\frac{\lambda}{c},\ \blue{x+\frac{\lambda}{c}-v}-\frac{\lambda}{c}\right\rangle[/mm]
Benutze jetzt die Eigenschaften des Skalarproduktes um [mm]\left|x+\frac{\lambda}{c}-v\right|^2[/mm]rauszuziehen. Vom Rest kürzt sich dann einiges weg... (allerdings nur, wenn H ein reeller Vektorraum ist)
Lieben Gruß,
Fulla
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:25 Mo 16.07.2012 | | Autor: | Kinghenni |
hallo Fulla,
vielen, vielen Dank :)
das war nen guter trick
und H ist wirklich ein reeller VR, hab ich bei den Vorrausetzungen vergessen
lg kinghenni
|
|
|
|
