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Äquivalenz Vektornormen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:51 Di 10.05.2005
Autor: MrPink

Hallo, habe eine Frage zu Äquivalenz von Vektornormen:

Und zwar soll ich die optimalen Konstanten bestimmen, was ist damit gemeint, also was genau heist optimal. Als Beispliel eine Aufage, zu der
ich die optimalen Konstanten bestimmen soll:

[Dateianhang nicht öffentlich]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Äquivalenz Vektornormen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:25 Di 10.05.2005
Autor: Julius

Hallo MrPink!

Handelt es sich um Normen im [mm] $\IR^n$? [/mm]

Dann gilt ja offenbar:

[mm] $\sup\limits_{i\in \{1,\ldots,n\}} |x_i| \le \sum\limits_{i=1}^n|x_i| \le [/mm] n [mm] \cdot \sup\limits_{i \in \{1,\ldots,n\}} |x_i|$, [/mm]

also:

[mm] $\frac{1}{n} \cdot\Vert [/mm] x [mm] \Vert_1 \le \Vert [/mm] x [mm] \Vert_{\infty} \le\Vert [/mm] x [mm] \Vert_1$. [/mm]

Somit sind

[mm] $m_{1,\infty} [/mm] = [mm] \frac{1}{n}$ [/mm]

und

[mm] $M_{1,\infty}=1$ [/mm]

geeignete Konstanten. Diese Schranken (Konstanten) sind dann optimal, wenn für ein $x [mm] \in \IR^n$ [/mm] bzw. ein $y [mm] \in \IR^n$ [/mm] Gleichheit in jeweils einer der beiden Abschäzungen gilt.

Dies ist für

[mm] $x=(1,1,\ldot,1)^T \in \IR^n$ [/mm]

bzw.

[mm] $y=(1,0,\ldots,0)^T \in \IR^n$ [/mm]

der Fall.

Viele Grüße
Julius  

Bezug
                
Bezug
Äquivalenz Vektornormen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:33 Do 12.05.2005
Autor: MrPink

Also soweit ist dann schon mal alles klar .
Vielen Dank !!!

ich finde nur die Definition dafür was dann ||x||2   heisst nicht, kannst du mir das noch eben sagen?

thx

Bezug
                        
Bezug
Äquivalenz Vektornormen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:38 Do 12.05.2005
Autor: Julius

Hallo!

Es gilt:

[mm] $\Vert [/mm] x [mm] \Vert_2 [/mm] = [mm] \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2}$. [/mm]

Viele Grüße
Julius

Bezug
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