Äquivalente Normen Hilbertraum < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:04 Mi 23.02.2011 | | Autor: | Moehre89 |
| Aufgabe | Betrachten Sie den Hilbertraum [mm] $H_0^1=W_0^{1,2}(\Omega,\mathbb{R})$ [/mm] auf [mm] $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ [/mm] offen und beschraenkt.
a) Zeigen Sie, dass die bilineare Abbildung
$$ [mm] <\cdot,\cdot>:H_0^1\times H_0^1\rightarrow\mathbb{R} [/mm] $$
gegeben durch
$$ [mm] :=\int\nabla u\cdot\nabla [/mm] v $$
ein Skalarprodukt auf [mm] $H_0^1$ [/mm] darstellt, welches eine zur ueblichen Norm auf [mm] $W_0^{1,2}$ [/mm] aequivalente Norm induziert.
b) Sei [mm] $f\in L^2(\Omega,\mathbb{R})$. [/mm] Zeigen Sie: Es gibt genau ein [mm] $\overline{u}\in H_0^1(\Omega,\mathbb{R}), [/mm] sodass gilt:
$$ [mm] \int_\Omega\nabla\overline{u}\nabla\phi=\int_\Omega f\phi,\quad\forall\phi\in H_0^1(\Omega,\mathbb{R})$$ [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hey Leute,
bei dieser Aufgabe habe ich doch einige Probleme bekommen.
Also, bei der a) habe ich bis jetzt gezeigt, dass die Abbildung eine positiv semidefinite Sesquilinearform ist. Nun wollte ich erst zeigen, dass die beiden Normen aequivalent sind, da daraus ja die positive Definitheit folgt. Dazu folgende Ueberlegungen:
[mm] \[ \|u\|_1:=\sqrt{}=\left(\int(\nabla u)^2\right)^{1/2}=\|\nabla u\|_{L^2}\]
[/mm]
[mm] \[ \|u\|_2:=\|u\|_{W_0^{1,2}}=\|u\|_{L^2} \]
[/mm]
Somit gilt mit der Poincare-Ungleichung: [mm] $\exists [/mm] C>0:$
[mm] \[ \|u\|_2\leq [/mm] C [mm] \|u\|_1 \]
[/mm]
Soweit so gut. Ich hab ein wenig rumprobiert, kam aber auf keinen vernuenftigen Weg, zu zeigen, dass auch gilt
[mm] \[ \|u\|_1\leq [/mm] c [mm] \|u\|_2 \]
[/mm]
Daher meine Idee, zu verwenden, dass wenn [mm] $H_0^1$ [/mm] bezueglich beider Normen ein Banachraum ist, schon die obere Ungleichung fuer die Aequivalenz genuegt. Aber auch hier habe ich Probleme die Vollstaendigkeit bzgl der induzierten Norm zu zeigen. Ist [mm] $H_0^1$ [/mm] ueberhaupt vollstaendig bezueglich der induzierten Norm oder bin ich da vollkommen auf dem Holzweg?
b) Hierfuer habe ich gar keine Idee, ich vermute allerdings, dass man das irgendwie ueber den Satz von Riesz-Frechet oder den Rieszchen-Darstellungssatz machen koennte.
Waer nett, wenn ihr mir bei dieser Aufgabe weiterhelfen koenntet.
Lg
Maria
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 Mi 23.02.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Maria!
> Betrachten Sie den Hilbertraum [mm]H_0^1=W_0^{1,2}(\Omega,\mathbb{R})[/mm] auf [mm]\Omega\subset\mathbb{R}^n[/mm] offen und beschraenkt.
> a) Zeigen Sie, dass die bilineare Abbildung
> [mm]<\cdot,\cdot>:H_0^1\times H_0^1\rightarrow\mathbb{R}[/mm]
>
> gegeben durch
> [mm]:=\int\nabla u\cdot\nabla v [/mm]
> ein Skalarprodukt auf [mm]H_0^1[/mm] darstellt, welches eine zur ueblichen Norm auf [mm]W_0^{1,2}[/mm] aequivalente Norm induziert.
> b) Sei [mm]$f\in L^2(\Omega,\mathbb{R})$.[/mm] Zeigen Sie: Es gibt genau ein [mm]$\overline{u}\in H_0^1(\Omega,\mathbb{R}),[/mm] sodass gilt:
> [mm]\int_\Omega\nabla\overline{u}\nabla\phi=\int_\Omega f\phi,\quad\forall\phi\in H_0^1(\Omega,\mathbb{R})[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hey Leute,
>
> bei dieser Aufgabe habe ich doch einige Probleme bekommen.
>
> Also, bei der a) habe ich bis jetzt gezeigt, dass die
> Abbildung eine positiv semidefinite Sesquilinearform ist.
> Nun wollte ich erst zeigen, dass die beiden Normen
> aequivalent sind, da daraus ja die positive Definitheit
> folgt. Dazu folgende Ueberlegungen:
>
> [mm]\[ \|u\|_1:=\sqrt{}=\left(\int(\nabla u)^2\right)^{1/2}=\|\nabla u\|_{L^2}\][/mm]
>
> [mm]\[ \|u\|_2:=\|u\|_{W_0^{1,2}}=\|u\|_{L^2} \][/mm]
Das ist aber nicht die übliche Norm auf dem Sobolevraum [mm] $W_0^{1,2}$, [/mm] denn die ist
[mm] \|u\|_{W_0^{1,2}} = \left(\summe_{|\alpha|\le 1} \|\partial^\alpha u\|_{L^2}^2 \right)^{1/2} = \left(\integral_\Omega ((\nabla u)^2 + u^2) \right)^{1/2} [/mm] .
Oder anders ausgedrückt:
[mm] \|u\|_{W_0^{1,2}} ^2 = \|\nabla u\|_{L^2}^2 + \|u\|_{L^2}^2 [/mm] .
> Somit gilt
> mit der Poincare-Ungleichung: [mm]\exists C>0:[/mm] [mm]\[ \|u\|_2\leq C \|u\|_1 \][/mm]
Das funktioniert auch mit der Sobolevnorm.
> Soweit so gut. Ich hab ein wenig
> rumprobiert, kam aber auf keinen vernuenftigen Weg, zu
> zeigen, dass auch gilt
> [mm]\[ \|u\|_1\leq[/mm] c [mm]\|u\|_2 \][/mm]
Naja, eigentlich steht das schon da:
[mm] \|u\|_{W_0^{1,2}} ^2 = \|\nabla u\|_{L^2}^2 + \|u\|_{L^2}^2 \implies \|u\|_{W_0^{1,2}} ^2 \ge \|\nabla u\|_{L^2}^2 [/mm] .
> b) Hierfuer habe ich gar keine Idee, ich vermute
> allerdings, dass man das irgendwie ueber den Satz von
> Riesz-Frechet oder den Rieszchen-Darstellungssatz machen
> koennte.
Tipp: nimm an, dass es zwei solche Funktionen [mm] $\overline{u}_1$ [/mm] und [mm] $\overline{u}_2$ [/mm] gibt. Was folgt dann für
[mm]\int_\Omega\nabla(\overline{u}_1-\overline{u}_2)\nabla\phi [/mm] ?
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:03 Fr 08.04.2011 | | Autor: | Moehre89 |
auch wenns recht spaet ist ^^ .... vielen vielen dank fuer die antwort .... hat mir bei meiner pruefung sehr weitergeholfen.
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