Äquivalente Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:25 So 16.10.2011 | | Autor: | marc1601 |
Hallo zusammen,
ich will versuchen zu zeigen, dass zwei Äquivalenzrelationen auf [mm] $M_n(\IC)$ [/mm] für idempotente Matrizen "gleich" sind. Zum einen haben wir $A [mm] \sim_a [/mm] B$, falls invertierbare Matrizen $S,T$ existieren mit $A=SBT$. Und zum anderen wäre da die Äquivalenzrelation: $A [mm] \sim_b [/mm] B$, falls Matrizen $X,Y$ existieren mit $XY=A$ und $YX=B$. Hierbei seien alle Matrizen jeweils aus [mm] $M_n(\IC)$. [/mm] Ich will nun zeigen, dass für idempotente Matrizen, also solche für die [mm] $A^2=A$ [/mm] gilt, diese Relationen gleich sind. Dass aus [mm] $A\sim_a [/mm] B$ schon $A [mm] \sim_b [/mm] B$ folgt, hab ich mir dabei schon überlegt. Man setzt einfach $X = SB$ und $Y=BT$.
Mein Problem ist die andere Richtung. Hat jemand eine Idee, wie ich es schaffe $X,Y$ so zu wählen, dass sie wirklich invertierbar sind? Damit wäre die Behauptung ja schnell gezeigt. Oder gilt die Rückrichtung einfach nicht?
Herzlichen Dank schon mal.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:16 So 16.10.2011 | | Autor: | Berieux |
Hallo!
> Hallo zusammen,
>
> ich will versuchen zu zeigen, dass zwei
> Äquivalenzrelationen auf [mm]M_n(\IC)[/mm] für idempotente
> Matrizen "gleich" sind. Zum einen haben wir [mm]A \sim_a B[/mm],
> falls invertierbare Matrizen [mm]S,T[/mm] existieren mit [mm]A=SBT[/mm]. Und
> zum anderen wäre da die Äquivalenzrelation: [mm]A \sim_b B[/mm],
> falls Matrizen [mm]X,Y[/mm] existieren mit [mm]XY=A[/mm] und [mm]YX=B[/mm]. Hierbei
> seien alle Matrizen jeweils aus [mm]M_n(\IC)[/mm]. Ich will nun
> zeigen, dass für idempotente Matrizen, also solche für
> die [mm]A^2=A[/mm] gilt, diese Relationen gleich sind. Dass aus
> [mm]A\sim_a B[/mm] schon [mm]A \sim_b B[/mm] folgt, hab ich mir dabei schon
> überlegt. Man setzt einfach [mm]X = SB[/mm] und [mm]Y=BT[/mm].
>
Genau.
> Mein Problem ist die andere Richtung. Hat jemand eine Idee,
> wie ich es schaffe [mm]X,Y[/mm] so zu wählen, dass sie wirklich
> invertierbar sind? Damit wäre die Behauptung ja schnell
> gezeigt. Oder gilt die Rückrichtung einfach nicht?
Doch die gilt schon. Aber X, Y sind natürlich nicht invertierbar, sonst wären ja auch A und B invertierbar. Also geh mal von so einer Zerlegung A=XY, B=YX aus. Zunächst überlege dir mal wie die Jordannormalform einer idempotenten Matrix in Abhängigkeit vom Rang aussieht. Zeige dann, dass A und B denselben Rang haben.
>
> Herzlichen Dank schon mal.
Beste Grüße,
Berieux
|
|
|
|
