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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:34 Do 18.10.2007 | | Autor: | AriR |
hey leute
habe bei wiki gelesen, dass alle normen auf dem [mm] \IR^n [/mm] äquivalent sind. Ist das so offensichtlich, denn ich sehe gerade nicht warum das zwingend so ist.
hat jemand vllt einen anschauliche erklärung oder beweis dafür?
gruß :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 Do 18.10.2007 | | Autor: | Riley |
Hallo Ari,
wir können ganz leicht zeigen, dass alle Normen auf dem [mm] C^N [/mm] äquivalent sind indem wir zeigen dass jede Norm zur Unendlichnorm äquivalent ist, dann sind sie auch untereinander äquivalent (wegen der Transitivität von " [mm] \leq [/mm] ").
Wir betrachten die Einheitskugel S:= [mm] \{ x: \|x\|_{\infty} = 1\}, [/mm] sie ist als beschränkte und abgeschlossene Menge in [mm] C^N [/mm] kompakt.
Das heißt, eine stetige Funktion [mm] \| \cdot \| [/mm] : S -> R nimmt auf S ihr Minimum (in [mm] x_m) [/mm] und ihr Maximum (in [mm] x_M) [/mm] an.
Für alle x [mm] \in [/mm] S gilt dann : 0 < [mm] \|x_m \| \leq \| [/mm] x [mm] \| \leq \|x_M\| [/mm] < [mm] \infty.
[/mm]
Wir brauchen die Abschätzung aber für beliebige Vektoren, nicht nur für [mm] x\in [/mm] S, also definieren wir mal:
y:= [mm] \frac{x}{\|x\|_{\infty}} [/mm] , x [mm] \in C^N [/mm] beliebig.
Bilde die Unendlichnorm von y:
[mm] \|y\|_{\infty} [/mm] = [mm] \| \frac{x}{\|x\|_{\infty}} \|_{\infty} [/mm] = 1, d.h. y [mm] \in [/mm] S.
Da y [mm] \in [/mm] S liegt, gilt weiter folgende Ungleichung:
[mm] \|x_m\| \leq \| [/mm] y [mm] \| \leq \|x_M \|
[/mm]
setze Definition von y [mm] ein:\|x_m\| \leq \| \frac{x}{\|x\|_{\infty}} \| \leq \|x_M \|
[/mm]
und forme mit Hilfe der Normeigenschaften um:
[mm] \| x_m \| \leq \frac{1}{\|x\|_{\infty}} \|x\| \leq \| x_M \|
[/mm]
[mm] \| x_m \| \|x\|_{\infty} \leq \| [/mm] x [mm] \| \leq \| x_M \| \|x\|_{\infty}
[/mm]
mit [mm] \|x_m\|=m [/mm] und [mm] \|x_M\|=M [/mm] sind wir am Ziel:
m [mm] \|x\|_{\infty} \leq \|x\| \leq [/mm] M [mm] \|x\|_{\infty}
[/mm]
Damit ist jede Norm äquivalent zur Unendlichnorm und wie gesagt daraus folgt dann wiederum dass alle Normen auf [mm] C^N [/mm] äquivalent sind :)
Viele Grüße,
Riley
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:17 Do 18.10.2007 | | Autor: | AriR |
jo danke! das ist sicher ein guer formaler beweis, kann man sich das ganze denn auch irgendwie (vllt geometrisch)veranschaulichen und das ganze nicht nur über die formale schiene dahin nehmen?
trotzdem vielen dank für die hilfe schonmal
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:53 Do 18.10.2007 | | Autor: | Riley |
hmm, mit Anschauung (geometrisch) hab ich hier keine idee, sorry! Ich fand den Beweis recht logisch... aber vielleicht hat hier ja sonst noch jemand ne andere Erklärung dafür... =)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:00 Do 18.10.2007 | | Autor: | AriR |
hehe kein ding :D
vielen dank nochmal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:19 Sa 20.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
vielleicht sagst du erstmal, wie du dir Normen vorstellst, dann ist der Beweis von riley direkt in Vorstellung umsetzbar.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Sa 20.10.2007 | | Autor: | AriR |
ich stelle mir sie einfach nur als gewisse längeneigenschaften von vektoren vor, wobei jede norm (anschaulich) eine andere eigenschaft angibt (länge des Vektors, größte koordinate etc)
kommt das in etwas hin?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:24 Sa 20.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei den beiden, die du genannt hast ist doch klar dass die eine Norm sich von der anderen maximal um den Faktor [mm] \wurzel{3} [/mm] unterscheiden. wenn [mm] |x|_1<|y|_1 [/mm] ist das dann doch auch für [mm] |x|_2<|y|_2 [/mm] klar, denn du hast ja [mm] |x|_1
und [mm] |x|_2
Stell dir also ne Messlatte vor mit der du abmisst, du misst zwar verschiedene Längen, aber immer ist die Norm der Differenz von 2 Vektoren nur 0, wenn die 2 gleich sind. und die Dreiecksungleichung gilt ja auch immer weils ja Normen sind.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Sa 20.10.2007 | | Autor: | AriR |
ich kapier leider nicht genau, was [mm] x,y,|*|_1 [/mm] und [mm] |*|_2 [/mm] sein sollen.
sind x und y vektoren oder komponenten eines vektors aus dem [mm] \IR^2 [/mm] und was sind das für beträge? sollen das p-normen sein mit p=1 und p=2?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Sa 20.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hatte keine Doppelstriche, das sollten irgend zwei Normen sein, x,y Elemente aus dem Raum mit Norm, Beispiel wären [mm] \R^n [/mm] mit eukidischer Norm oder maimum Norm, die du genannt hattest.
Du misst einfach mit 2 verschieden Sorten "Maßband" die "Länge" deiner Vektoren.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:10 Mo 22.10.2007 | | Autor: | AriR |
ich guck mir das noch etwas an.. im moment verstehe ich dsa immer noch nicht so ganz :D
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