Ähnlickeit mit Frobenius < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:23 Mo 11.07.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Guten Abend^^
Ich hab eine Frage zur Ähnlichkeit von Matrizen.
Seien A und B zwei Matrizen gegeben und ich will wissen ob die ähnlich zueinander sind unzwar will ich das anhand der Frobenius -Normalform der Matrizen untersuchen. Jetzt ist die Frobenius Normalform ja nicht eindeutig, da man das charakteristische Polynom auf verschiedene Weisen zerlegen kann.
Allgemein kann man doch sagen, dass zwei Matrizen ähnlich sind, falls ihre FNF übereinstimmen. Muss man nun wirklich jeweils alle möglichen FNF von A und B aufschreiben und schauen ob zwei von denen übereinstimmen oder gehts auch einfacher?
Z.B. so, dass man jeweils die Form der FNF bestimmt, bei der das charakteristische Polynom eines Blocks das charakteristische Polynom des nächsten Blocks teilt, denn diese Form ist eindeutig. Und wenn diese FNF von A und B übereinstimmt, dann sind sie ähnlich, wenn nicht, dann sind sie nicht ähnlich.
Geht das so oder kann man das auch anders mit der FNF machen?
Vielen Dank
lg
|
|
| |
|
> Guten Abend^^
>
> Ich hab eine Frage zur Ähnlichkeit von Matrizen.
> Seien A und B zwei Matrizen gegeben und ich will wissen ob
> die ähnlich zueinander sind unzwar will ich das anhand der
> Frobenius -Normalform der Matrizen untersuchen. Jetzt ist
> die Frobenius Normalform ja nicht eindeutig, da man das
> charakteristische Polynom auf verschiedene Weisen zerlegen
> kann.
Die Frobeniusnormalform ist doch eindeutig? Wie möchtest du es zwei verschiedene Weisen zerlegen?
Du findest doch die invarianten Faktoren, welche nun eindeutig bestimmt sind.
Man faktorisiert das Charakteristische Polynom [mm]\chi(x)=\prod_{k=1}^n h_k(x)[/mm] mit [mm]h_i\; |\; h_{i+1}[/mm]. Und dann stellst du die Begleitmatrix zu den invarianten Faktoren auf.
> Allgemein kann man doch sagen, dass zwei Matrizen ähnlich
> sind, falls ihre FNF übereinstimmen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ab hier ist glaube ich ein Denkfehler.
> Muss man nun wirklich
> jeweils alle möglichen FNF von A und B aufschreiben und
> schauen ob zwei von denen übereinstimmen oder gehts auch
> einfacher?
>
> Z.B. so, dass man jeweils die Form der FNF bestimmt, bei
> der das charakteristische Polynom eines Blocks das
> charakteristische Polynom des nächsten Blocks teilt, denn
> diese Form ist eindeutig. Und wenn diese FNF von A und B
> übereinstimmt, dann sind sie ähnlich, wenn nicht, dann
> sind sie nicht ähnlich.
>
> Geht das so oder kann man das auch anders mit der FNF
> machen?
>
> Vielen Dank
> lg
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Di 12.07.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Guten Abend^^
> >
> > Ich hab eine Frage zur Ähnlichkeit von Matrizen.
> > Seien A und B zwei Matrizen gegeben und ich will wissen
> ob
> > die ähnlich zueinander sind unzwar will ich das anhand der
> > Frobenius -Normalform der Matrizen untersuchen. Jetzt ist
> > die Frobenius Normalform ja nicht eindeutig, da man das
> > charakteristische Polynom auf verschiedene Weisen zerlegen
> > kann.
> Die Frobeniusnormalform ist doch eindeutig? Wie möchtest
> du es zwei verschiedene Weisen zerlegen?
So: Sei das charakteristische Polynom (x+4)*(x-4)*(x+2)*(x-2) gegeben. Dann kann ich doch einmal die Frobenius Normalformen aufstellen zu
1. (x+4)*(x-4)*(x+2)*(x-2)
2. [mm] (x^{2}-16)*(x+2)*(x-2)
[/mm]
3. [mm] (x^{2}-16)*(x^{2}-4) [/mm] usw.
aufstellen und die Blöcke sehen immer verschieden aus und ich habe auch verschiedene FNF.
Wie sieht es dann mit der Ähnlichkeit aus?
Vielen Dank
lg
|
|
|
| |
|
Um das mal alles aufzuklären. Die FNF ist eindeutig. Bei dir wäre der Fall klar gewesen mit
[mm] \left( \begin {array}{cccc} 0&0&0&-64\\
1&0&0&0\\
0&1&0&20\\
0&0&1&0\end {array} \right)[/mm]
Die Faktoren vom charak. Polynom müssen einander teilen. Hier findest du keine Möglichkeit die Faktoren [mm]x-4,x+4,x-2,x+2[/mm] so anzuordnen, dass die Teilbarkeitsbedingung erfüllt ist.
Es bleibt also nur der Fall übrig: Alle Faktoren miteinander zu multiplizieren und diese dann in die Frobeniusmatrix zu stecken [mm]\chi(x)=64-20x^2+x^4[/mm].
Deine letzter Versuch
[mm] $(x^2-16)(x^2-4)$ [/mm] scheiter an der Tatsache, dass [mm] $(x^2-4) \not [/mm] | [mm] (x^2-16)$ [/mm] zum Beispiel gilt.
Interessanterer Fall:
Das charakteristische Polynom: [mm] $\chi(x)=x^3+3x^2+3x+1=(x+1)^3$. [/mm] Hier gibt es tatsächlich 3 Möglichkeiten für die FNF, die da wären:
[mm] M_1=\left( \begin {array}{ccc} -1&0&0\\
0&-1&0
\\
0&0&-1\end {array} \right) , M_2=\left( \begin {array}{ccc} 0&-1&0\\
1&-2&0
\\
0&0&-1\end {array} \right) , M_3=\left( \begin {array}{ccc} 0&0&-1\\
1&0&-3
\\
0&1&-3\end {array} \right)
[/mm]
Jedoch ist jede Matrix A mit dem charakteristischen Polynom [mm] $\chi(x)=x^3+3x^2+3x+1=(x+1)^3$ [/mm] genau zu einer der 3 obigen Matrizen äquivalent.
Das liegt an der Bestimmung der invarianten Faktoren. Über den Smithalgorithmus erhält man
[mm]smith(x-M_1)=\left( \begin {array}{ccc} x-1&0&0\\
0&x-1&0
\\
0&0&x-1\end {array} \right)[/mm]
[mm]smith(x-M_2)= \left( \begin {array}{ccc} 1&0&0\\
0&1&0
\\
0&0&{x}^{2}+2\,x+1\end {array} \right) [/mm]
[mm]smith(x-M_2)= \left( \begin {array}{ccc} 1&0&0\\
0&1&0
\\
0&0&{x}^{3}+3\,{x}^{2}+3\,x+1\end {array}
\right [/mm]
Fazit: Das charakteristische Polynom alleine reicht nicht aus! Für 3x3,2x2,1x1 reicht das charakteristsiche Polynom und das Minimalpolynom für Äquivalenzbetrachtungen aus.
|
|
|
|
