Ähnlichkeitsrelation < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:33 Mi 06.01.2010 | | Autor: | bl1nky |
| Aufgabe | Zeigen Sie: Die Ähnlichkeitsrelation für Matrizen, gegeben durch A = B genau dann, wenn eine invertierbare Matrix S existiert, so dass B = SAS^-1, ist eine Äquivalenzrelation, d.h. sie ist
(1) reflexiv A=A
(2) symmetrisch: wenn A=B, dann auch B=A
(3) transitiv : Wenn A=B und B=C, dann auch A=C |
Guten Tag,
ich weiß leider absolut nicht wie ich diese Aussagen beweisen soll,
wäre dankbar wenn mir jemand helfen könnte oder vllt einen Link parat hat der weiter hilft.
Kann mit Beweisen leider gar nichts anfangen :(
Viele Dank im Voraus
Mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:41 Mi 06.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie: Die Ähnlichkeitsrelation für Matrizen,
> gegeben durch A = B genau dann, wenn eine invertierbare
> Matrix S existiert, so dass B = SAS^-1, ist eine
> Äquivalenzrelation, d.h. sie ist
> (1) reflexiv A=A
> (2) symmetrisch: wenn A=B, dann auch B=A
> (3) transitiv : Wenn A=B und B=C, dann auch A=C
> Guten Tag,
> ich weiß leider absolut nicht wie ich diese Aussagen
> beweisen soll,
> wäre dankbar wenn mir jemand helfen könnte oder vllt
> einen Link parat hat der weiter hilft.
> Kann mit Beweisen leider gar nichts anfangen :(
> Viele Dank im Voraus
Die Relation würde ich besser mit " [mm] \sim [/mm] " statt mit "=" bezeichnen.
Zu (1) Welche Matrix S mußt Du wohl nehmen, dass gilt
[mm] $A=SAS^{-1}$ [/mm] ??
Zu (2). Sei $A [mm] \sim [/mm] B$, also gilt $B = [mm] SAS^{-1}$ [/mm] mit einer invertierbaren Matrix S
Für welche invertierbare Matrix R gilt dann $A = [mm] RBR^{-1}$ [/mm] ?
Kannst Du (3) nun alleine ?
FRED
>
> Mfg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Mi 06.01.2010 | | Autor: | bl1nky |
Hi,
vielen dank schonmal Fred, aber so richtig habe ich es nicht verstanden, kannst du evtl. falls du Zeit hast versuchen es mir etwas genauer zu erläutern oder sonst irgendwie wie ich den Beweis bewerkstelligen kann? :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:51 Mi 06.01.2010 | | Autor: | nooschi |
zu 1)
zeige, dass ein S existiert, sodass A = [mm] S*A*S^{-1} [/mm] gilt
wenn du für S die Einheitsmatrix einsetzt, stimmt die Aussage. [mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \sim [/mm] A
Beweis zu 1 ist fertig :P
zu 2)
gegeben: [mm] A=S*B*S^{-1}, [/mm] zeige: es existiert R so dass [mm] B=R*A*R^{-1}
[/mm]
[mm] B=R*A*R^{-1} \gdw B*R=R*A*R^{-1}*R \gdw R^{-1}*B*R=R^{-1}*R*A \gdw R^{-1}*B*R=A \gdw A=R^{-1}*B*R
[/mm]
[mm] \Rightarrow R=S^{-1}
[/mm]
zu 3)
gegeben: [mm] A=S*B*S^{-1}, B=R*C*R^{-1}, [/mm] zeige: es existiert T so dass [mm] A=T*C*T^{-1} [/mm] gilt
[mm] \Rightarrow A=S*B*S^{-1}=S*R*C*R^{-1}*S^{-1}
[/mm]
habt ihr zufälligerweise in der VL gezeigt, dass das Produkt zweier invertierbaren Matrizen wieder invertierbar ist? und dass [mm] (AB)^{-1}=B^{-1}*A^{-1}? [/mm] dann wäre der Beweis hier fertig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:08 Mi 06.01.2010 | | Autor: | bl1nky |
Vielen Dank! :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Mi 06.01.2010 | | Autor: | nooschi |
bitte :P
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