Ähnlichkeitsdifferentialgle... < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | a) Lösen Sie das Anfangswertproblem [mm] y'=e^{y} [/mm] , y(0)=0
durch Trennung der Veränderlichen und überprüfen Sie Ihre Lösung anschließend.
b) Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Differentialgleichung für x > 0: [mm] y'=(1+\bruch{y}{x})^{2}-\bruch{y}{x} [/mm] |
Hallo,
hier mein bisheriger Ansatz:
a) [mm] y'=e^{y} [/mm] --> [mm] \bruch{dy}{dx}=e^{y} [/mm] --> [mm] \bruch{1}{e^{y}}dy=dx [/mm] --> [mm] \integral{\bruch{1}{e^{y}}dy}=\integral{dx}
[/mm]
Das Problem hier ist die Integration von [mm] \bruch{1}{e^{y}} [/mm] ; [mm] e^{y} [/mm] allein wäre ja das selbe. kann ich vielleicht das so machen: [mm] ln(e^{y}) [/mm] , dann wäre:
[mm] \integral{\bruch{1}{e^{y}}dy}=\integral{dx} [/mm] --> [mm] ln(e^{y})=x+ln(C)
[/mm]
Allgemeine Lösung: y= x+C
Spezielle Lösung: y=x
b) [mm] y'=(1+\bruch{y}{x})^{2}-\bruch{y}{x} [/mm] --> [mm] \bruch{dy}{dx}=(1+\bruch{y}{x})^{2}-\bruch{y}{x} [/mm] --> [mm] \bruch{1}{y}dy=-\bruch{2x}{1+x^{2}}dx
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{1}{y}dy}=\integral{-\bruch{2x}{1+x^{2}}dx} [/mm] --> [mm] \integral{\bruch{1}{y}dy}=-2*\integral{\bruch{x}{1+x^{2}}dx}
[/mm]
Hier die Schwierigkeit: Wie integriere ich die rechte seite? die linke ist ja ln(y).
Danke vielmals.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:57 So 31.10.2010 | | Autor: | monstre123 |
bei der b) ist ein Fehler unterlaufen, ich habe das falsche blatt gehabt.
hier die b):
[mm] y'=(1+\bruch{y}{x})^{2}-\bruch{y}{x}
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{dx}=(1+\bruch{y}{x})^{2}-\bruch{y}{x}
[/mm]
umformen zu: [mm] \bruch{1}{y}dy=(1+\bruch{1}{x^{2}}-\bruch{1}{x})dx [/mm]
korrekt soweit?
wenn ja, muss ich nur noch wissen, was [mm] \bruch{1}{x^{2}} [/mm] integriert ergibt.
ihr könnt aber auch die falsche b) gerne kontrollieren.
Danke.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:07 So 31.10.2010 | | Autor: | fencheltee |
> bei der b) ist ein Fehler unterlaufen, ich habe das falsche
> blatt gehabt.
>
> hier die b):
>
> [mm]y'=(1+\bruch{y}{x})^{2}-\bruch{y}{x}[/mm]
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}=(1+\bruch{y}{x})^{2}-\bruch{y}{x}[/mm]
>
> umformen zu:
> [mm]\bruch{1}{y}dy=(1+\bruch{1}{x^{2}}-\bruch{1}{x})dx[/mm]
die umformung sieht abenteuerlich aus!
was ist dort passiert? das binom sieht echt verschandet aus. versuche mal eine substitution u=y/x
>
> korrekt soweit?
> wenn ja, muss ich nur noch wissen, was [mm]\bruch{1}{x^{2}}[/mm]
> integriert ergibt.
>
> ihr könnt aber auch die falsche b) gerne kontrollieren.
>
>
> Danke.
gruß tee
|
|
|
| |
|
> a) Lösen Sie das Anfangswertproblem [mm]y'=e^{y}[/mm] , y(0)=0
> durch Trennung der Veränderlichen und überprüfen Sie
> Ihre Lösung anschließend.
>
> b) Bestimmen Sie die Lösung der folgenden
> Differentialgleichung für x > 0:
> [mm]y'=(1+\bruch{y}{x})^{2}-\bruch{y}{x}[/mm]
> Hallo,
>
> hier mein bisheriger Ansatz:
>
> a) [mm]y'=e^{y}[/mm] --> [mm]\bruch{dy}{dx}=e^{y}[/mm] -->
> [mm]\bruch{1}{e^{y}}dy=dx[/mm] -->
> [mm]\integral{\bruch{1}{e^{y}}dy}=\integral{dx}[/mm]
>
> Das Problem hier ist die Integration von [mm]\bruch{1}{e^{y}}[/mm] ;
> [mm]e^{y}[/mm] allein wäre ja das selbe. kann ich vielleicht das so
> machen: [mm]ln(e^{y})[/mm] , dann wäre:
[mm] 1/e^y=e^{-y} [/mm] davon sollte die stammfunktion doch bekannt sein? notfalls substitution -y=z, der rest ist spielend einfach
>
> [mm]\integral{\bruch{1}{e^{y}}dy}=\integral{dx}[/mm] -->
> [mm]ln(e^{y})=x+ln(C)[/mm]
>
> Allgemeine Lösung: y= x+C
hättest du wie verlangt die probe gemacht, wär dir was aufgefallen 
>
> Spezielle Lösung: y=x
>
>
> b) [mm]y'=(1+\bruch{y}{x})^{2}-\bruch{y}{x}[/mm] -->
> [mm]\bruch{dy}{dx}=(1+\bruch{y}{x})^{2}-\bruch{y}{x}[/mm] -->
> [mm]\bruch{1}{y}dy=-\bruch{2x}{1+x^{2}}dx[/mm]
>
> [mm]\integral{\bruch{1}{y}dy}=\integral{-\bruch{2x}{1+x^{2}}dx}[/mm]
> -->
> [mm]\integral{\bruch{1}{y}dy}=-2*\integral{\bruch{x}{1+x^{2}}dx}[/mm]
>
> Hier die Schwierigkeit: Wie integriere ich die rechte
> seite? die linke ist ja ln(y).
>
>
> Danke vielmals.
|
|
|
|
