Ähnlichkeit von Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:43 Fr 03.02.2012 | | Autor: | s1mn |
| Aufgabe | Man nennt zwei Matrizen A, B [mm] \in K^{n,n} [/mm] ähnlich und schreibt A [mm] \sim [/mm] B, wenn es eine reguläre Matrix S [mm] \in GL_{n}(K) [/mm] mit
A = [mm] S^{-1}BS [/mm]
gibt. Man zeige:
(a) Es ist [mm] \sim [/mm] eine Äquivalenzrelation auf [mm] K^{n,n}.
[/mm]
(b) Es gilt det A = det B, falls A und B ähnlich sind.
(c) Wenn A [mm] \sim [/mm] B gilt, so haben A und B dieselben Eigenwerte. Ist weiter [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von A und B, dann sind die algebraischen Vielfachheiten identisch.
(d) Sind wieder A und B ähnlich, dann sind die geometrischen Vielfachheiten eines Eigenwertes [mm] \lambda [/mm] von A und B identisch. |
Hey Leute,
mal wieder n Problem meinerseits.
Bei (a) hängts schon.
Wie zeig ich das wirklich richtig ? Muss ja wahrscheinlich allgemein gehalten werden, also kann ich nicht mit irgend nem Beispiel anfangen...
Dass die ganzen Eigenschaften stimmen ist mir klar, aber wie ichs beweisen kann weiss ich nicht.
zu (a)
Äquivalenrelation:
reflexiv ?
symmetrisch ?
transitiv ?
Reflexivität hab ich glaub schon gezeigt:
A [mm] \sim [/mm] A:
A = [mm] S^{-1}AS
[/mm]
[mm] \rightarrow [/mm] A und A sind ähnlich (sogar gleich) [mm] \rightarrow [/mm] reflexiv
Symmetrie: A [mm] \sim [/mm] B [mm] \rightarrow [/mm] B [mm] \sim [/mm] A
A = [mm] S^{-1}BS \rightarrow [/mm] B = [mm] S^{-1}AS
[/mm]
Aber wie ich dann weitermachen muss weiss ich leider ned... -.-
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Hallo s1mn,
> Man nennt zwei Matrizen A, B [mm]\in K^{n,n}[/mm] ähnlich und
> schreibt A [mm]\sim[/mm] B, wenn es eine reguläre Matrix S [mm]\in GL_{n}(K)[/mm]
> mit
> A = [mm]S^{-1}BS[/mm]
> gibt. Man zeige:
> (a) Es ist [mm]\sim[/mm] eine Äquivalenzrelation auf [mm]K^{n,n}.[/mm]
> (b) Es gilt det A = det B, falls A und B ähnlich sind.
> (c) Wenn A [mm]\sim[/mm] B gilt, so haben A und B dieselben
> Eigenwerte. Ist weiter [mm]\lambda[/mm] ein Eigenwert von A und B,
> dann sind die algebraischen Vielfachheiten identisch.
> (d) Sind wieder A und B ähnlich, dann sind die
> geometrischen Vielfachheiten eines Eigenwertes [mm]\lambda[/mm] von
> A und B identisch.
> Hey Leute,
>
> mal wieder n Problem meinerseits.
> Bei (a) hängts schon.
> Wie zeig ich das wirklich richtig ? Muss ja wahrscheinlich
> allgemein gehalten werden, also kann ich nicht mit irgend
> nem Beispiel anfangen...
>
> Dass die ganzen Eigenschaften stimmen ist mir klar, aber
> wie ichs beweisen kann weiss ich nicht.
>
> zu (a)
> Äquivalenrelation:
> reflexiv ?
> symmetrisch ?
> transitiv ?
Jo!
>
> Reflexivität hab ich glaub schon gezeigt:
> A [mm]\sim[/mm] A:
> A = [mm]S^{-1}AS[/mm]
> [mm]\rightarrow[/mm] A und A sind ähnlich (sogar gleich)
> [mm]\rightarrow[/mm] reflexiv
Nix hast du gezeigt! Nur hingeschrieben, was du zeigen sollst 
Du musst zeigen, dass [mm]A\sim A[/mm]
Also musst du eine invertierbare Matrix [mm]S[/mm] angeben, so dass [mm]A=S^{-1}AS[/mm] ist
Wähle [mm]S:=\mathbb{E}[/mm] (Einheitsmatrix), dass ist [mm]S^{-1}=\mathbb{E}^{-1}=\mathbb{E}[/mm], also gilt [mm]A=\mathbb{E}^{-1}A\mathbb{E}[/mm] offensichtlich! [mm](A=A)[/mm], also insgesamt: [mm]A\sim A[/mm]
> Symmetrie: A [mm]\sim[/mm] B [mm]\rightarrow[/mm] B [mm]\sim[/mm] A
>
> A = [mm]S^{-1}BS \rightarrow[/mm] B = [mm]S^{-1}AS[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das ist falsch umgestellt.
> Aber wie ich dann weitermachen muss weiss ich leider
> ned... -.-
Nun, aus [mm]A\sim B[/mm] folgt in der Tat, dass es eine invert. Matrix [mm]S[/mm] gibt mit [mm]A=S^{-1}BS[/mm]
Du musst nun eine (invertierbare) Matrix [mm]T[/mm] angeben mit [mm]B=T^{-1}AT[/mm]
(diese Matrix [mm]T[/mm] hängt natürlich sehr sehr eng mit der Matrix [mm]S[/mm] aus [mm]A=S^{-1}BS[/mm] zusammen, stelle das korrekt nach [mm]B[/mm] um du du siehst, wie du [mm]T[/mm] wählen musst)
Für die Transitivität nimm an, dass [mm]A\sim B[/mm] und [mm]B\sim C[/mm]
Dh. es ex. invert. Matrizen [mm]S,T[/mm] mit [mm]A=S^{-1}BS[/mm] und [mm]B=T^{-1}CT[/mm]
Du musst nun zeigen, dass [mm]A\sim C[/mm] ist, dass es also eine inv. Matrix [mm]U[/mm] gibt mit [mm]A=U^{-1}CU[/mm]
Diese Matrix [mm]U[/mm] kannst du aus [mm]S,T[/mm] zusammenbasteln ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Fr 03.02.2012 | | Autor: | s1mn |
ok auf ein neues:
* Reflexivität:
A [mm] \sim [/mm] A
A = [mm] S^{-1}AS. [/mm] Wähle S = E: [mm] E^{-1}AE [/mm] = A
[mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \sim [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] reflexiv
* Symmetrie:
A [mm] \sim [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] B [mm] \sim [/mm] A:
A = [mm] S^{-1}BS
[/mm]
B = [mm] T^{-1}AS
[/mm]
A = [mm] S^{-1}BS \gdw SAS^{-1} [/mm] = B
Wähle T = [mm] S^{-1} \Rightarrow T^{-1} [/mm] = [mm] (S^{-1})^{-1} [/mm] = S
A [mm] \sim [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] B [mm] \sim [/mm] A
[mm] \Rightarrow [/mm] symmetrisch
*Transitivität: A [mm] \sim [/mm] B, B [mm] \sim [/mm] C [mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \sim [/mm] C
A = [mm] S^{-1}BS \Rightarrow [/mm] B = [mm] SAS^{-1}
[/mm]
B = [mm] T^{-1}CT [/mm]
A = [mm] U^{-1}CU
[/mm]
gleichsetzen: (B = B)
[mm] SAS^{-1} [/mm] = [mm] T^{-1}CT
[/mm]
A = [mm] S^{-1}T^{-1}CTS
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Wähle U = T*S [mm] \Rightarrow U^{-1} [/mm] = [mm] (TS)^{-1} [/mm] = [mm] S^{-1}T^{-1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \sim [/mm] C [mm] \Rightarrow [/mm] transitiv
Stimmt das so weit ?
Edit:
zu (b):
zu zeigen: det(A) = det(b):
det(A) = [mm] det(S^{-1}BS) [/mm] = [mm] det(S^{-1}) [/mm] * det(B) * det(S) = 1/det(S) * det(S) * det(B) = det(B)
für det(B) = [mm] det(SAS^{-1}) [/mm] gilt dasselbe.
zu (c):
[mm] p_{A}(\lambda) [/mm] = det( [mm] S^{-1}BS [/mm] - [mm] \lambda*E)
[/mm]
[mm] p_{B}(\lambda) [/mm] = det( [mm] SAS^{-1} [/mm] - [mm] \lambda*E)
[/mm]
da ja det(A) = det(B) gilt (in (b) gezeigt), kann man daraus doch folgern, dass die beiden charakteristischen Polynome auch gleich sind, oder nicht ?
Weil dann hätte ich einfach aufgeschrieben:
[mm] p_{A}(\lambda) [/mm] = [mm] p_{B}(\lambda) \gdw [/mm] det( [mm] S^{-1}BS [/mm] - [mm] \lambda*E) [/mm] = det( [mm] SAS^{-1} [/mm] - [mm] \lambda*E)
[/mm]
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> ok auf ein neues:
>
> * Reflexivität:
> A [mm]\sim[/mm] A
>
> A = [mm]S^{-1}AS.[/mm] Wähle S = E: [mm]E^{-1}AE[/mm] = A
> [mm]\Rightarrow[/mm] A [mm]\sim[/mm] A [mm]\Rightarrow[/mm] reflexiv
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> * Symmetrie:
> A [mm]\sim[/mm] B [mm]\Rightarrow[/mm] B [mm]\sim[/mm] A:
> A = [mm]S^{-1}BS[/mm]
> B = [mm]T^{-1}A\green{T}[/mm]
>
> A = [mm]S^{-1}BS \gdw SAS^{-1}[/mm] = B
> Wähle T = [mm]S^{-1} \Rightarrow T^{-1}[/mm] = [mm](S^{-1})^{-1}[/mm] = S
> A [mm]\sim[/mm] B [mm]\Rightarrow[/mm] B [mm]\sim[/mm] A
> [mm]\Rightarrow[/mm] symmetrisch
>
> *Transitivität: A [mm]\sim[/mm] B, B [mm]\sim[/mm] C [mm]\Rightarrow[/mm] A [mm]\sim[/mm] C
>
> A = [mm]S^{-1}BS \Rightarrow[/mm] B = [mm]SAS^{-1}[/mm]
> B = [mm]T^{-1}CT[/mm]
> A = [mm]U^{-1}CU[/mm]
?? das soll doch gezeigt werden und ist nicht gegeben.
> gleichsetzen: (B = B)
??
> [mm]SAS^{-1}[/mm] = [mm]T^{-1}CT[/mm]
> A = [mm]S^{-1}T^{-1}CTS[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] Wähle U = T*S [mm]\Rightarrow U^{-1}[/mm] = [mm](TS)^{-1}[/mm]
> = [mm]S^{-1}T^{-1}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] A [mm]\sim[/mm] C [mm]\Rightarrow[/mm] transitiv
>
> Stimmt das so weit ?
Ja
Ich würde es nur anders aufschreiben:
Seien [mm]A=S^{-1}BS[/mm] und [mm]B=T^{-1}CT[/mm] mit invertierbaren Matrizen S,T. Dann gilt
[mm]A=S^{-1}BS=S^{-1}T^{-1}CTS=(TS)^{-1}C(TS)[/mm]. Mit [mm]U=TS[/mm] (invertierbar) folgt die Behauptung.
> Edit:
>
> zu (b):
>
> zu zeigen: det(A) = det(b):
> det(A) = [mm]det(S^{-1}BS)[/mm] = [mm]det(S^{-1})[/mm] * det(B) * det(S) =
> 1/det(S) * det(S) * det(B) = det(B)
>
> für det(B) = [mm]det(SAS^{-1})[/mm] gilt dasselbe.
Ja. Es reich jedoch das für eins nur aufzuschreiben, da die Ähnlichkeitsrelation ja symmetrisch ist (wegen oben)
>
> zu (c):
>
> [mm]p_{A}(\lambda)[/mm] = det( [mm]S^{-1}BS[/mm] - [mm]\lambda*E)[/mm]
> [mm]p_{B}(\lambda)[/mm] = det( [mm]SAS^{-1}[/mm] - [mm]\lambda*E)[/mm]
>
> da ja det(A) = det(B) gilt (in (b) gezeigt), kann man
> daraus doch folgern, dass die beiden charakteristischen
> Polynome auch gleich sind, oder nicht ?
Nein. Die Determinante ist das Produkt der Eigenwerte. Damit haben diag(4,2,3) und diag(12,0,2) die gleiche Determinante aber offensichtlich unterschiedliche Eigenwerte und damit auch unterschiedliche char. Polynome.
> Weil dann hätte ich einfach aufgeschrieben:
>
> [mm]p_{A}(\lambda)[/mm] = [mm]p_{B}(\lambda) \gdw[/mm] det( [mm]S^{-1}BS[/mm] -
> [mm]\lambda*E)[/mm] = det( [mm]SAS^{-1}[/mm] - [mm]\lambda*E)[/mm]
???
Seien A,B ähnliche Matrizen, d.h. [mm]A=S^{-1}BS[/mm]. Dann gilt:
[mm]p_A(\lambda)=det(A-\lambda E)=det(S^{-1}BS-\lambda S^{-1}ES)=\ldots[/mm]
- Distributivgesetz
- det(MN)=det(M)det(N)
- analog zu b)
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