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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 Di 07.06.2011 | | Autor: | UNR8D |
| Aufgabe | Überprüfen Sie die folgenden Matrizen über [mm] \IR [/mm] auf Ähnlichkeit
[mm] A=\pmat{1&0&0&0\\0&2&0&1\\0&0&3&0\\0&0&0&1} b=\pmat{1&0&0&1\\0&2&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&1} [/mm] |
Hi,
ich kenne leider nur nur notwendige Kriterien zur Überprüfung auf Ähnlichkeit (Übereinstimmung von Determinante, Spur, charakteristischem Polynom), aber kein hinreichendes.
Muss ich hier direkt mit der Definition B=SAS^-1 Arbeiten und die Transformationsmatrix suchen?
Wenn ja, wie stelle ich das an?
lg unr8d
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> Überprüfen Sie die folgenden Matrizen über [mm]\IR[/mm] auf
> Ähnlichkeit
> [mm]A=\pmat{1&0&0&0\\
0&2&0&1\\
0&0&3&0\\
0&0&0&1} b=\pmat{1&0&0&1\\
0&2&0&0\\
0&0&3&0\\
0&0&0&1}[/mm]
>
> Hi,
> ich kenne leider nur nur notwendige Kriterien zur
> Überprüfung auf Ähnlichkeit (Übereinstimmung von
> Determinante, Spur, charakteristischem Polynom), aber kein
> hinreichendes.
>
> Muss ich hier direkt mit der Definition B=SAS^-1 Arbeiten
> und die Transformationsmatrix suchen?
Eigentlich schon. Hier kannst du die Transitivität der Ähnlichkeitsrelation ausnutzen.
Es reicht, wenn du für jede Matrix die Normalenform berechnest (JordanNF, Diagonalgestalt oder FrobeniusNormalenform)
Wenn zwei Matrizen zum Beispiel gleiche JordanNF ODER Gleiche Diagonalgestalt,... haben, dann sind sie ähnlich.
Falls nämlich [mm] $S^{-1}AS=J=T^{-1}BT$ [/mm] gilt, dann ist ja [mm] $TS^{-1}AST^{-1}=RAR^{-1}=B$ [/mm] mit [mm] $R=TS^{-1}$.
[/mm]
Stimmt die notw. Bedingung helfen hier nicht weiter.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Di 07.06.2011 | | Autor: | UNR8D |
Danke!
Ich habe jetzt versucht die beiden Matrizen zu diagonalisieren, jedoch stellt man bei der B fest, dass [mm] Dim(Eig(B,1))
Demnach können sie nicht ähnlich sein.
[mm] B-1*E=\pmat{0&0&0&1\\0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&0}
[/mm]
-> rang=3 -> Dim(Eig(B,1))=1 < 2
Ich hoffe ich hab mich nicht vertan, aber vom Prinzip hier sollte dass ja dann stimmen, richtig?
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> Danke!
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> Ich habe jetzt versucht die beiden Matrizen zu
> diagonalisieren, jedoch stellt man bei der B fest, dass
> [mm]Dim(Eig(B,1))
> nicht diagonalisierbar ist, während das für A klappt.
> Demnach können sie nicht ähnlich sein.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das ist die eine Lösung. Daher haben sie auch nicht gleich JNF.
>
> [mm]B-1*E=\pmat{0&0&0&1\\
0&1&0&0\\
0&0&2&0\\
0&0&0&0}[/mm]
> -> rang=3 -> Dim(Eig(B,1))=1 < 2
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> Ich hoffe ich hab mich nicht vertan, aber vom Prinzip hier
> sollte dass ja dann stimmen, richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:58 Di 07.06.2011 | | Autor: | UNR8D |
Alles klar, danke :)
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