Ähnlichkeit, gleiches Char.Pol < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Di 17.06.2008 | | Autor: | eumel |
| Aufgabe | | Zeigen Sie für A,B [mm] \in M_n[K]: [/mm] Haben A und B das gleiche charakteristische Polynom, so ist A ähnlich zu B. |
Hallo allerseits ^^
Hat der obige Satz die gleiche Aussage wie "Ähnliche Matrizen haben das gleiche charakteristische Polynom." ??
Irgendwie hört sich der obige Sath mehr nach: [mm] \chi_A(X) [/mm] = [mm] \chi_B(X) [/mm] => A [mm] \approx [/mm] B
an und dieser: A [mm] \approx [/mm] B => [mm] \chi_A(X) [/mm] = [mm] \chi_B(X)
[/mm]
aber ne äquivalenz liegt ja eben nicht vor, von daher meine frage: ist das das gleiche und ich denk einfach falsch? (wär jetz am leichtesten ^^)
falls net wüsst ich jetz gerade net, was man daraus schließen kann, wenn det(xE-A) = det(xE-B) ist....
wenn die ähnlich sind kann man ja bei der determinante eben mit der Produktregel arbeiten und sagen, dass es eben eine Matrix C gibt mit C^(-1)AC = B.....
lg und danke =D
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> Zeigen Sie für A,B [mm]\in M_n[K]:[/mm] Haben A und B das gleiche
> charakteristische Polynom, so ist A ähnlich zu B.
> Hallo allerseits ^^
> Hat der obige Satz die gleiche Aussage wie "Ähnliche
> Matrizen haben das gleiche charakteristische Polynom." ??
Hallo,
nein. Und ich wundere mich, daß Ihr den Satz da oben beweisen sollt. Er stimmt nämlich nicht.
>
> Irgendwie hört sich der obige Sath mehr nach: [mm]\chi_A(X)[/mm] =
> [mm]\chi_B(X)[/mm] => A [mm]\approx[/mm] B
Ja, falls [mm] "\approx" [/mm] bei Dir für "ähnlich" steht.
Falls das oben wirklich die exakte Aufgabenstellung ist, solltest Du ein Gegenbeispiel suchen und den Satz widerlegen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Di 17.06.2008 | | Autor: | eumel |
ich hatte mir als gegenbeispiel [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] und [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm] ausgesucht, stimmt ja,
nur dann ist mir aufgefallen, dass als voraussetzung für die aufgabe galt:
A und B seien kein skalares Vielfaches der Elementarmatrix in [mm] M_n[K]...
[/mm]
stimmt dann die aussage doch? wenn ja hab ich aber echt kein plan wie ich über die char. polynome zur ähnlichkeit komme.....
merci et adieu ^^
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> ich hatte mir als gegenbeispiel [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] und
> [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm] ausgesucht, stimmt ja,
> nur dann ist mir aufgefallen, dass als voraussetzung für
> die aufgabe galt:
>
> A und B seien kein skalares Vielfaches der Elementarmatrix
Hallo,
was versteht Ihr unter Elementarmatrix? Die Einheitsmatrix?
> in [mm]M_n[K]...[/mm]
>
> stimmt dann die aussage doch?
Nein, die Aussage stimmt dann immer noch nicht, und Du mußt Dich auf die Suche nach einem Gegenbeispiel begeben.
Steht denn da "Beweise"? Oder "Beweise oder widerlege"?
Je nachdem, was in der Vorlesung dran war, kann das Finden eines Gebenbeispiels sehr unaufwendig sein:
Es haben ja ähnliche Matrizen dieselbe JNF, und es fällt Dir bestimmt nicht schwer, zwei verschiedene JNF anzugeben, deren charakteristisches Polynom gleich ist.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:56 Di 17.06.2008 | | Autor: | eumel |
ja klar die einheitsmatrix, warum ich elementarmatrix geschrieben hab weiß ich auch nicht, sry...
also wortwörtlich steht da:
Gegeben seien 2x2 Matrizen A,B über dem Körper, weder A noch B sei skalares Vielfaches der Einheitsmatrix in [mm] M_2(K). [/mm] ZEIGE: Haben A und B das gleiche charakteristische Polynom, so ist A ähnlich (konjugiert) zu B in [mm] M_2(K)
[/mm]
also ist es meine aufgabe eine Matrix zu finden, sodass das char. Polynom von C^(-1)AC gleich dem ch.P. von A ist, aber A [mm] \approx [/mm] C^(-1)AC ?
:)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:33 Di 17.06.2008 | | Autor: | XPatrickX |
Hi,
oohh....ich denke für [mm] $\red{2 \times 2}$-Matrizen [/mm] stimmt diese Aussage, wenn man zusätzlich noch berücksichtigt, dass sie kein Vielfaches der Einheitsmatrix sind.
Deswegen am Besten von Anfang an, Aufgabenstellungen wörtlich abtippen.
Als Ansatz würde ich hier auch über die Jordanform gehen, oder hattet ihr die noch nicht.
Grüße Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Mi 18.06.2008 | | Autor: | eumel |
hi nochmal ^^
also die jordanform haben wir besprochen, zwar nur kurz aber besprochen.
wenn jetzt also [mm] \pmat{a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}} [/mm] und [mm] \pmat{b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22}} [/mm] gegeben sind, so muss man ja für die jordanform ja schon voraussetzen, dass das char.pol. vollständig in lin.fak. zerfällt... es gilt ja nach voraussetzung [mm] \chi_A(X)=x^2-Spur(A)+det(A)=x^2-xSpur(B)+det(B)=\chi_B(X) [/mm] woraus ja schon definitiv die gleichheit der spuren und der determinanten folgt. nur ich weiß noch nicht einmal wie ich die jordanmatrix bestimmen kann, hört sich echt dumm an zumal es sich um eine 2x2 matrix handelt :-/
wenn jemand mir das auch an einem beispiel erklären kann wär ich auch sehr dankbar ^^
lg und mit bestem dank
ben
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:44 Mi 18.06.2008 | | Autor: | eumel |
oder noch besser wie kann ich hier die determinantenteiler und invariantenteiler bestimmen?!
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Versuche doch mal alle Fälle durch zugehen.
Das charakteristische Polynom kann nur folgende Formen haben:
[mm] f_1(\lambda)=(\lambda-\lambda_{1})^2 [/mm] oder [mm] f_2(\lambda)=(\lambda-\lambda_{1})(\lambda-\lambda_{2}).
[/mm]
Wie kann dazu jeweils die Jordanform aussehen?
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:35 Mi 18.06.2008 | | Autor: | eumel |
hey :)
desch is net zufällig [mm] \pmat{\lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_1 } [/mm] bzw. [mm] \pmat{\lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 } [/mm] oder?
falls das stimmen sollte, welchen satz kann man denn dann darauf anwenden um zu argumentieren, dass dann A ähnlich zu B ist?
hab mein buch durchgeblättert aber hmm :-|
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:42 Mi 18.06.2008 | | Autor: | eumel |
bzw wie kann man das aus der jordanform her rechnerisch zeigen, dass dann A = [mm] C^{-1} [/mm] BC ist ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Fr 20.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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