Ähnlichkeit Diagonalmatrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:47 Mo 04.07.2005 | | Autor: | Phoebe |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, ich soll zeigen, dass die Matrix
A = [mm] \pmat{ 3 & 2 & -1 \\ 2 & 6 & -2 \\ 0 & 0 & 2}
[/mm]
einer Diagonalmatrix D ähnlich ist. Wenn ich das richtig verstehe, soll ich also zeigen, dass die Matrix A diagonalisierbar ist. Jetzt habe ich die Eigenwerte und Eigenvektoren ausgerechnet und erhalte für [mm] \lambda_{1}=2 [/mm] und [mm] \lambda_{2}=7 [/mm] und die dazugehörigen Eigenvektoren sind
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 0}
[/mm]
Jetzt weiß ich irgendwie nicht, wie ich weiter machen soll...
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Hallo,
der Eigenraum zum Eigenwert [mm]\lambda_{1}=2[/mm] hat die Dimension zwei. Du findest also noch einen von [mm]\lambda_{1}=2[/mm] linear unabhängigen Eigenvektor zum Eigenwert 2.
Dann hast Du drei linear unabhängige Eigenvektoren, also eine Basis aus Eigenvektoren, und kommst vielleicht weiter.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Mo 04.07.2005 | | Autor: | Phoebe |
Also, da das characteristische Polynom (2- [mm] \lambda)^{2}(7-\lambda) [/mm] ist, weiß ich, dass die geometrische Vielfachheit für [mm] \lambda=2 [/mm] 2 ist. Ist die Dimension also immer gleich der geoetrischen Vielfachheit oder woher weiß ich die Dimension jetzt? Und wie komme ich auf den 2. linear unabhängigen Vektor zu dem Eigenwert?
Gruß, Phoebe
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 15:52 Mo 04.07.2005 | | Autor: | Hexe |
> Also, da das characteristische Polynom (2-
> [mm]\lambda)^{2}(7-\lambda)[/mm] ist, weiß ich, dass die
> geometrische Vielfachheit für [mm]\lambda=2[/mm] 2 ist. Ist die
> Dimension also immer gleich der geoetrischen Vielfachheit
> oder woher weiß ich die Dimension jetzt?
ja
> Und wie komme ich
> auf den 2. linear unabhängigen Vektor zu dem Eigenwert?
Genauso wie auf den ersten wenn du (A-2*E)x=0 ansetzt dann erhälst du ja
[mm] x_1+2x_2- x_3=0
[/mm]
[mm] 2x_1+4x_2-2x_3=0 [/mm]
[mm] 0x_1+0x_2+0x_3=0 [/mm]
im Prinzip ist das nur eine Gleichung nämlich die erste (die zweite ist das doppelte) also hast du 2 lin. unabh. Lösungen
z.B. [mm] \vektor{1\\0\\1} [/mm] und [mm] \vektor{0\\1\\2}
[/mm]
Grüße
Hexe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Mo 04.07.2005 | | Autor: | Phoebe |
Ahh,... *klick* Vielen Dank! Soweit hab ich das jetzt kapiert. Ich habe mir jetzt die 3 Eigenvektoren [mm] x_{1}= \vektor{-2 \\ 1 \\ 0}, x_{1'}= \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] und [mm] x_{2}= \vektor{1 \\ 2 \\ 0} [/mm] ausgrechnet und könnte somit die Matrix P = [mm] \pmat{ -2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 } [/mm] aufstellen und dazu dann die Inverse ausrechnen, damit ich mit deren Hilfe die Diagonalmatrix ausrechnen kann, richtig? Aber muss ich das denn überhaupt tun? Oder würde es reichen, wenn ich jetzt sagen kann, dass die Summe der geometrischen Vielfachheiten mit n übereinstimmt und deshalb die Matrix A diagonalisierbar ist? Denn laut Aufgabenstellung heißt es ja, dass man zeigen soll, dass A einer Diagonalmatrix D ähnlich ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:01 Mo 04.07.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Phoebe!
Nein, du brauchst das nicht mehr auszurechnen, in der Tat.
Es genügt zu sagen, dass erstens das charakteristische Polynom zerfällt und dass zweitens die geometrische Vielfachheit jedes Eigenwertes gleich dessen algebraischer Viefachheit ist. Daher es eine Basis des [mm] $\IR^3$, [/mm] bestehend aus Eigenvektoren von $A$, so dass die Matrix $A$ diagonalisierbar ist (sie besitzt bezüglich dieser Basis Diagonalgestalt).
Viele Grüße
Julius
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> > Also, da das characteristische Polynom (2-
> > [mm]\lambda)^{2}(7-\lambda)[/mm] ist, weiß ich, dass die
> > geometrische Vielfachheit für [mm]\lambda=2[/mm] 2 ist. Ist die
> > Dimension also immer gleich der geoetrischen Vielfachheit
> > oder woher weiß ich die Dimension jetzt?
>
> ja
Hallo,
das stimmt nicht.
Wenn das charakteristische Polynom eine Nullstelle [mm] \lambda [/mm] mit einer Vielfachheit >1 hat, kann man die Dimension des zugehörigen Eigenraumes nicht wissen.
Was man weiß ist: die Dimension dieses Eigenraumes ist höchstens zwei.
Wenn man allerdings festgestellt hat, daß das charakteristische Polynom zerfällt und das ord [mm] (\lambda)=dim [/mm] Eig( [mm] \lambda) [/mm] für alle Eigenwerte [mm] \lambda [/mm] ist, folgt daraus die Diagonalisierbarkeit. Und umgekehrt!
Aus einem zerfallenden charakteristischen Polynom kann man jedoch auf die Triangulierbarkeit schließen. Und umgekehrt.
Um von der Ordnung der Nullstellen auf die Dimension der entsprechenden Eigenräume schließen zu können, benötigt man das Minimalpolynom.
Gruß v. Angela
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